弧度制高考题,弧度制在高中数学课程中的作用

1.想请教一下三角函数在进行图象变换时应注意的问题

函数对很多初高中生来说都是一个难点，但是因为函数是初高中数学的重点的缘故，导致不管在初中还是在高中涉及到的知识点和考点都非常的多。

比如高中数学的三角函数，因为其公式多，图像多，性质多，导致考点多，而且是每年高考数学中分数占比最大的考点之一，此外学好三角函数还能在很大程度上帮助同学们学习掌握物理重难点中的弹簧振子、波等相关知识。

相信有很多高中生的三角函数学的都不太好，在2020年人教版必修一的改版新教材中，三角函数最开始出现在《第五章 三角函数》。下面给出两个最关键的方法和建议：知识模块的系统化学习和自身的主动学习。

第一，系统化学习。

系统化学习，这就是说我们不能“缺啥补啥”。不能因为三角函数的图像、诱导公式等没学好就只补习三角函数的图像和诱导公式部分。那样做的话，一方面是补习的效果不太好，另一方面不利于知识的熟练掌握和深刻理解。

也就是说我们要从课本上《第五章 三角函数》的第一节《任意角和弧度制》开始认真复习、仔细理解。这样走下来有助于知识的系统化，而且更容易水到渠成的理解下一节《三角函数的概念》 和《诱导公式》等内容。

系统化学习的好处是，不但能帮助同学们按新高考课程标准要求的那样从根本上理解到位，还能帮助同学们快速、熟练地掌握三角函数的相关知识和解题方法技巧。

第二，自身的主动学习。

说到三角函数的概念，我们要结合定义理解到把任意一个角放到坐标系中，让角的起始边与x轴的非负半轴（坐标系原点和x轴的正半轴）重合，解出角的终边与圆心在原点的单位圆交点的坐标，设为（x,y）的话，那么这个角的正弦值就等于x，这个角的余弦值就等于y，这个角的正切值就等于y/x。

所以，在上面三角函数的概念中，我们不难总结出，求任意一个角的三个三角函数值，其实就只要求出这个角与单位圆交点的坐标（x,y），然后往相应的三角函数值的定义中代即可。

学完三角函数的概念后，不要急着往下预习。我们不妨再对三角函数的概念这部分知识进行进一步的理解和探究。用自己对三角函数概念的理解，来探究和发现三角函数概念中蕴藏的更多知识。

比如，由单位圆的半径为1，圆心在原点，得到x大于等于-1，且小于等于-1。结合x值即为角的余弦值，可得任意角的余弦值的值域为大于等于-1，且小于等于1。

以此类推，不难得到正弦函数的值域、正切函数的值域，以及它们的最大值、最小值，角分别取值时对应的三角函数值取最值，及角的终边在各个象限时三角函数值的正负问题。

再如，我们可以根据角终边旋转的周期性得到正弦函数、余弦函数的周期。也能发现终边相同的角与单位圆的交点坐标相同。那么根据三角函数的概念，终边相同的角的三个三角函数值对应相等。有此想法后我们就自主完成本节“诱导公式一”的理解和推导。

通过我们自主探究来研究问题的能力，是新高考改革要求具备的一个关键能力之一。我们通过自主探究推导，无形中就培养起了自己的这方面能力。另外，再翻看课本后发现结论居然和自己推导的结果一样，在学习上的成功感、自信感和对数学的学习兴趣很自然的就激发了出来。

这就是主动学习的好处。同学们一旦有了这种自主学习产生的学习乐趣后，那么以后自主学习的欲望和动力就自然而然地被激发了出来。

后续的内容《诱导公式》、《三角函数的图像与性质》、《三角恒等变换》等，也要重视起知识模块的系统化学习和主动学习。这样学习下来后，头脑中不但会对这章知识的脉络特别清楚，而且也会对这部分的知识都了如指掌。三角函数这章里的很多公式和知识点等不必刻意花大量时间记忆，就已经自然而然地掌握透了。

学霸之所以为学霸正是因为他们都是在主动学习，从不喜欢被动学习。而只有我们自己去主动学习，自身隐藏的巨大潜力才能被激发出来。被动学习的结果是“学啥啥不会”的话， 主动学习的结果就为“学啥啥能成”。

想请教一下三角函数在进行图象变换时应注意的问题

高考数学必考考点 耐心看 很多 （139个）

必修（115个）

一、集合、简易逻辑（14课时,8个）

1.集合; 2.子集; 3.补集;

4.交集; 5.并集; 6.逻辑连结词;

7.四种命题; 8.充要条件.

二、函数（30课时,12个）

1.映射; 2.函数; 3.函数的单调性;

4.反函数; 5.互为反函数的函数图象间的关系; 6.指数概念的扩充;

7.有理指数幂的运算; 8.指数函数; 9.对数;

10.对数的运算性质; 11.对数函数. 12.函数的应用举例.

三、数列（12课时,5个）

1.数列; 2.等差数列及其通项公式; 3.等差数列前n项和公式;

4.等比数列及其通顶公式; 5.等比数列前n项和公式.

四、三角函数（46课时17个）

1.角的概念的推广; 2.弧度制; 3.任意角的三角函数;

4,单位圆中的三角函数线; 5.同角三角函数的基本关系式;

6.正弦、余弦的诱导公式’ 7.两角和与差的正弦、余弦、正切;

8.二倍角的正弦、余弦、正切; 9.正弦函数、余弦函数的图象和性质;

10.周期函数; 11.函数的奇偶性; 12.函数 的图象;

13.正切函数的图象和性质; 14.已知三角函数值求角; 15.正弦定理;

16余弦定理; 17斜三角形解法举例.

五、平面向量（12课时,8个）

1.向量 2.向量的加法与减法 3.实数与向量的积;

4.平面向量的坐标表示; 5.线段的定比分点; 6.平面向量的数量积;

7.平面两点间的距离; 8.平移.

六、不等式（22课时,5个）

1.不等式; 2.不等式的基本性质; 3.不等式的证明;

4.不等式的解法; 5.含绝对值的不等式.

七、直线和圆的方程（22课时,12个）

1.直线的倾斜角和斜率; 2.直线方程的点斜式和两点式; 3.直线方程的一般式;

4.两条直线平行与垂直的条件; 5.两条直线的交角; 6.点到直线的距离;

7.用二元一次不等式表示平面区域; 8.简单线性规划问题. 9.曲线与方程的概念;

10.由已知条件列出曲线方程; 11.圆的标准方程和一般方程; 12.圆的参数方程.

八、圆锥曲线（18课时,7个）

1椭圆及其标准方程; 2.椭圆的简单几何性质; 3.椭圆的参数方程;

4.双曲线及其标准方程; 5.双曲线的简单几何性质; 6.抛物线及其标准方程;

7.抛物线的简单几何性质.

九、（B）直线、平面、简单何体（36课时,28个）

1.平面及基本性质; 2.平面图形直观图的画法; 3.平面直线;

4.直线和平面平行的判定与性质; 5,直线和平面垂直的判与性质;

6.三垂线定理及其逆定理; 7.两个平面的位置关系；

8.空间向量及其加法、减法与数乘; 9.空间向量的坐标表示;

10.空间向量的数量积; 11.直线的方向向量; 12.异面直线所成的角;

13.异面直线的公垂线; 14异面直线的距离; 15.直线和平面垂直的性质;

16.平面的法向量; 17.点到平面的距离; 18.直线和平面所成的角;

19.向量在平面内的射影; 20.平面与平面平行的性质; 21.平行平面间的距离;

22.二面角及其平面角; 23.两个平面垂直的判定和性质; 24.多面体;

25.棱柱; 26.棱锥; 27.正多面体; 28.球.

十、排列、组合、二项式定理（18课时,8个）

1.分类计数原理与分步计数原理. 2.排列; 3.排列数公式’

4.组合; 5.组合数公式; 6.组合数的两个性质;

7.二项式定理; 8.二项展开式的性质.

十一、概率（12课时,5个）

1.随机事件的概率; 2.等可能事件的概率; 3.互斥事件有一个发生的概率;

4.相互独立事件同时发生的概率; 5.独立重复试验.

选修Ⅱ（24个）

十二、概率与统计（14课时,6个）

1.离散型随机变量的分布列; 2.离散型随机变量的期望值和方差; 3.抽样方法;

4.总体分布的估计; 5.正态分布; 6.线性回归.

十三、极限（12课时,6个）

1.数学归纳法; 2.数学归纳法应用举例; 3.数列的极限;

4.函数的极限; 5.极限的四则运算; 6.函数的连续性.

十四、导数（18课时,8个）

1.导数的概念; 2.导数的几何意义; 3.几种常见函数的导数;

4.两个函数的和、差、积、商的导数； 5.复合函数的导数; 6.基本导数公式;

7.利用导数研究函数的单调性和极值; 8函数的最大值和最小值.

十五、复数（4课时,4个）

1.复数的概念; 2.复数的加法和减法; 3.复数的乘法和除法;

4.数系的扩充.

答题技巧

数学选择题的解题方法数学选择题的解题方法数学选择题的解题方法数学选择题的解题方法

直接法：

就是从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础

特例法

特例法特例法特例法：就是运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊函数等对各选择支进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，由此判明选项真伪的方法。用特例法解选择题时，特例取得愈简单、愈特殊愈好。

图解法图解法图解法图解法：

就是利用函数图像或数学结果的几何意义，将数的问题(如解方程、解不等式、求最值，求取值范围等)与某些图形结合起来，利用直观几性，再辅以简单计算，确定正确答案的方法。这种解法贯穿数形结合思想，每年高考均有很多选择题(也有填空题、解答题)都可以用数形结合思想解决，既简捷又迅速

筛选法（也叫排除法、淘汰法）：

就是充分运用选择题中单选题的特征，即有且只有一个正确选择支这一信息，从选择支入手，根据题设条件与各选择支的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选择支进行筛选，将其中与题设相矛盾的干扰支逐一排除，从而获得正确结论的方法。使用筛选法的前提是“答案唯一”，即四个选项中有且只有一个答案正确。

1.理解弧度的定义,并能正确地进行弧度和角度的换算.

2.掌握任意角的三角函数的定义,三角函数的符号,同角三角函数的关系式与诱导公式,了解周期函数和最小正周期的意义,会求的周期,或者经过简单的恒等变形可以化为上述函数的三角函数的周期.能运用上述三角公式化简三角函数式,求任意角的三角函数值与证明较简单的三角恒等式.

3.了解正弦,余弦,正切,余切函数的图象的画法,会用"五点法"画正弦,余弦函数和函数的简图,并能解决正弦,曲线有关的实际问题.

4.能推导并掌握两角和,两角差,二倍角与半角的正弦,余弦,正切公式.

5.了解三角函数的积化和差与和差化积公式.

6.能正确地运用上述公式简化三角函数式,求某些角的三角函数值.证明较简单的三角恒等式以及解决一些简单的实际问题.

7.掌握余弦定理,正弦定理及其推导过程,并能运用它们解斜三角形.

考点分析

三角函数是一种重要的初等函数,由于其特殊的性质以及与其他代数,几何知识的密切联系,它既是研究其他各部分知识的重要工具,又是高考考查双基的重要内容之一.

本章分两部分,第一部分是三角函数部分的基础,不要求引入难度过高,计算过繁,技巧性过强的题目,重点应放在结知识理解的准确性,熟练性和灵活性上.

试题以选择题,填空题形式居多,试题难度不高,常与其他知识结合考查.

复习时应把握好以下几点:

1.理解弧度制表示角的优点在于把角的集合与实数集一一对应起来,二是就可把三角函数看成以实数为自变量的函数.

2.要区别正角,负角,零角,锐角,钝角,区间角,象限角,终边相同角的概念.

3.在已知一个角的三角函数值,求这个角的其他三角函数值时,要注意题设中角的范围,并对不同的象限分别求出相应的值.在应用诱导公式进行三角式的化简,求值时,应注意公式中符号的选取.

4.单位圆中的三角函数线,是三角函数的一种几何表示,用三角函数线的数值来代替三角函数值,比由三角函数定义所规定的比值所得出三角函数值优越得多,因此,三角函数是讨论三角函数性质的一个强有力的工具.

5.要善于将三角函数式尽可能化为只含一个三角函数的"标准式",进而可求得某些复合三角函数的最值,最小正周期,单调性等.对函数式作恒等变形时需特别注意保持定义域的不变性.

6.函数的单调性是在给定的区间上考虑的,只有属于同一单调敬意的同一函数的两个函数值才能由它的单调性来比较大小.

7.对于具有周期性的函数,在作图时只要先作它在一个周期中的图象,然后利用周期性就可作出整个函数的图象.

8.对于,,等表达式,要会进行熟练的变形,并利用等三角公式进行化简.

本章第二部分是两角和与差的三角函数,考查的知识共7个,高考中在选择题,填空题和解答题三种题型中都考查过本章知识,题目多为求值题,有直接求某个三角函数值的,也有通过三角变换求函数的变量范围,周期,最小,大值和讨论其他性质;以及少量的化简,证明题.考查的题量一般为3—4个,分值在12—22分,都是容易题和中等题,重点考查内容是两角和与差的正弦,余弦及正切公式,和差化积,各积化和差公式.

考生丢分的原因主要有以下两点:一是公式不熟,二是运算不过关,因此复习时要注意以下几点:

1.熟练掌握和,差,倍,半角的三角函数公式.复习中注意掌握以下几个三角恒等变形的常用方法和简单技巧.

①常值代换,特别是"1"的代换,如:,,,等等.

②项的分拆与角的配凑.

③降次与升次.

④万能代换

另外,注意理解两角和,差,倍,半角公式中角的实质,可以把公式中的角看成一种整体形式,可以锦成其他变量或函数,这样可加大公式的应用范围和力度.

2.要会运用和差化积与积化和差公式.对三角函数和差式,要善于转化为积的形式,反之亦然,对于形如的式子,要引入辅助角并化成的形式,这里辅助角所在的象限由的符号决定,角的值由确定.对这种思想,务必强化训练,加深认识.

3.归纳总结并熟练掌握好三角函数的化简与求值的常用方法和技巧.

①三角函数化简时,在题设的要求下,首先应合理利用有关公式,还要尽量减少角的种数,尽量减少三角函数种数,尽量化同角,化同名等.其他思想还有:异次化同次,高次化低次,化弦或化切,化和差为乘积,化乘积为和差,特殊角三角函数与特殊值互化等.

②三角函数的求值问题,主要有两种类型.一关是给角求值问题;另一类是给值求角问题.它们都是通过恰当的变换,设法再与求值的三角函数式,特殊角的三角函数式,已知某值的三角函数式之间建立起联系.选用公式时应注意方向性,灵活性,以造成消项或约项的机会,简化问题.

4.关于三角函数式的简单证明.三角恒等证明分不附加条件和附加条件两种,证明方法灵活多样.一般规律是从化简入手,适当变换,化繁为简,不过这里的变换目标要由所证恒等式的特点来决定.

①不附加条件的三角恒等式证明:多用综合法,分析法,在特定的条件下,也可使用数学归纳法.

②附加条件的三角恒等式证明:关键在于恰当而适时地使用所附加的条件,也就是要仔细地寻找所附加条件和要证明的等式之间的内在联系.常用的方法是代入法和消元法.

三角恒等证明中要重点会用和差与积的互化公式,掌握等价转化的思想和变量代换的方法.证明的关键是:发现差异——观察等式两边角,函数,运算间的差异;寻找联系——选择恰当公式,找出差异间的联系;合理转化促进联系,创造性地应用基本公式.

而关于角的恒等式或条件恒等式的证明,一般来说,要证,先证明的同名三角函数值相等,即,再证明在三角函数的同一单调区间内,而后由函数的单调性得出.

5.在解有关三角形的问题中,锐角三角函数的定义,勾股定理,正弦定理,余弦定理是常用的工具.注意三角形面积公式,的妙用和三角形内角和的制约关系的作用.

6.求三角函数最值的常用方法是:配方法,判别式法,重要不等式法,变量代换法,三角函数的单调性和有界性等.其基本思想是将三角函数的最值转化为代数函数的最值.

三角函数的概念,同角三角函数的基本关系及诱导公式