高考题三角函数_高考题三角函数求值域

1.地标性高考题：三角函数和差化积公式的应用

已知函数f（x）=bsinwx（b∈R），x∈R，且图象关于点（π/3,0）对称，在x=π/6处f（x）取得最小值，求符合条件的w的集合

解析：∵函数f（x）=bsinwx（b∈R），x∈R

∵f（x）图象关于点（π/3,0）对称，满足f(x)+f(2π/3-x)=0

又∵f（x）图象在x=π/6处取得最小值，图像关于直线x=π/6对称，满足f(x)-f(π/3-x)=0

一般地，函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是其一个周期。

∴f（x）图象周期为T=4|π/3-π/6|=2π/3

∴w=2π/(2π/3)=3

∴f（x）=bsin3x==>f（π/6）=bsinπ/2=-b==>b=-1

∴f（x）=-sin3x

令f（π/3）=sin(wπ/3)=0

wπ/3=2kπ+π==>w=6k+3 (由负变0)

令f（π/6）=sin(wπ/6)=-1

wπ/6=2kπ-π/2==>w=12k-3

取二者最小公倍数w=3(2k+1)(4k-1)=24k^2+6k-3

取w={w|w=(-1)^k*(24k^2+6k-3),k∈N}

验证：

K=0时，f(x)=sin(-3x)==> f(π/6)=sin(-3π/6)=-1, f(π/3)=sin(-3π/3)=0

K=1时，f(x)=sin(-27x)==> f(π/6)=sin(-27π/6)=-1, f(π/3)=sin(-27π/3)=0

K=2时，f(x)=sin(105x)==> f(π/6)=sin(105π/6)=-1, f(π/3)=sin(105π/3)=0

……

地标性高考题：三角函数和差化积公式的应用

sin?(α)+cos?(α)=1 cos(2α)=cos?(α)-sin?(α)=1- 2sin?(α)=2cos?(α)-1 sin(2α)=2sin(α)cos(α) tan?(α)+1=1/cos?(α) 2sin?(α)=1-cos(2α) cot?(α)+1=1/sin?(α)

sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα

sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα

sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα

就这些了，其他的都是这些推理的

解析

结论：选项C正确.

可以和这个题对比一下： 1987年全国卷题16

已知 , 求 的值.

解法一

解法二

设 为第四象限的角，若 ，则

解

又∵

∴

∵ 为第四象限角，

∴ ,

∴ ,

∴ ,

,

提炼与提高

和差化积公式共有以下4个：

在前面3个题的解答过程中，都用到了和差化积公式。

初等数学是很成熟的内容，但不同的老师在教法方面也会有不同的主张。

以三角函数来说，有些老师会建议学生多记一些公式，比如三倍角公式。在我看来，三倍角公式的重要性远远不如和差化积公式，用到的机会也比较少。这类用得不多的公式，很容易记错记混。如果在考试中用了错误的公式而丢分，就亏大了。

归根结底，学数学就是学推导；靠「死记硬背」是学不好数学的。

事实上，用和差化积公式可以很轻松地推导出三倍角公式。

∵

∴

∵

∴