数学集合高考题库-数学集合高考题

1.2006年上海数学高考题

2.谁有2010江苏高考数学试卷

3.2007年北京数学高考题最后一道题

2006年上海数学高考题

2006年上海高考数学试卷（文科）

一．填空题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分）

1． 已知集合A = { –1 , 3 , 2m – 1 }，集合B = { 3 , 4 }。若B ? A，则实数m =__。

2． 已知两条直线l1：ax + 3y – 3 = 0 , l2：4x + 6y – 1 = 0。若l1‖l2，则a =______。

3． 若函数f(x) = ax（a > 0且a ? 1）的反函数的图像过点( 2 , –1 )，则a =_____。

4． 计算： =__________。

5． 若复数z = ( m – 2 ) + ( m + 1 )i为纯虚数（i为虚数单位），其中m ? R，则| | =__________。

6． 函数y = sinxcosx的最小正周期是_____________。

7． 已知双曲线的中心在原点，一个顶点的坐标是( 3 , 0 )，且焦距与虚轴长之比为5:4，则双曲线的标准方程是________。

8． 方程log3( x2 – 10 ) = 1 + log3x的解是_______。

9． 已知实数x , y满足 ，则y – 2x的最大值是______。

10． 在一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是__________。（结果用分数表示）

11． 若曲线|y|2 = 2x + 1与直线y = b没有公共点，则b的取值范围是________。

12． 如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O。对于平面上任意一点M，若p , q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对( p , q )是点M的“距离坐标”。根据上述定义，“距离坐标”是( 1 , 2 )的点的个数是________。

二．选择题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

13． 如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（ ）

(A) (B)

(C) (D)

14． 如果a < 0 , b > 0，那么，下列不等式中正确的是（ ）

(A) (B) (C) a2 < b2 (D) |a| > |b|

15． 若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的（ ）

(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件

(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件

16． 如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（ ）

(A) 48 (B) 18 (C)24 (D) 36

三．解答题：（本大题共6小题，共86分）

17．（本小题满分12分）

已知a是第一象限的角，且 ，求 的值。

18．（本小题满分12分）

如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救。甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1°）？

19．（本小题满分14分）

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，?ABC = 90° , AB = BC = 1。

(1) 求异面直线B1C1与AC所成角的大小；

(2) 若直线A1C与平面ABC所成角为45°，求三棱锥A1-ABC的体积。

20．（本小题满分14分）

设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n×an + Sn = 4096。

(1) 求数列{an}的通项公式；

(2) 设数列{log2an}的前n项和为Tn，对数列{Tn}，从第几项起Tn < –509？

21．（本小题满分16分）

已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F( , 0 )，且右顶点为D( 2 , 0 )，设点A的坐标是( 1 , )。

(1) 求该椭圆的标准方程；

(2) 若是P椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；

(3) 过原点O的直线交椭圆于点B , C，求△ABC面积的最大值。

22．（本小题满分18分）

已知函数 有如下性质：如果常数a > 0，那么该函数在 上是减函数，在 上是增函数。

(1) 如果函数 在 上是减函数，在 上是增函数，求实常数b的值；

(2) 设常数c ? [ 1 , 4 ]，求函数 ( 1 ? x ? 2 )的最大值和最小值；

(3) 当n是正整数时，研究函数 ( c > 0 )的单调性，并说明理由。

上海数学(文史类)参考答案

一、(第1题至笫12题)

1. 4 2. 2 3. 4. 5. 3 6.π 7.

8. 5 9. 0 10. 11.－1<b<1 12. 4

二、(第13题至笫16题)

13. C 14. A 15. A 16. D

三、(第17题至笫22题)

17.解： =

由已知可得sin ,

∴原式= .

18.解：连接BC,由余弦定理得BC2=202+102－2×20×10COS120°=700.

于是,BC=10 .

∵ , ∴sin∠ACB= ,

∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41°

∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援.

19.解：(1) ∵BC‖B1C1, ∴∠ACB为异面直线B1C1与AC所成角(或它的补角)

∵∠ABC=90°, AB=BC=1, ∴∠ACB=45°,

∴异面直线B1C1与AC所成角为45°.

(2) ∵AA1⊥平面ABC,

∠ACA1是A1C与平面ABC所成的角, ∠ACA =45°.

∵∠ABC=90°, AB=BC=1, AC= ,

∴AA1= .

∴三棱锥A1-ABC的体积V= S△ABC×AA1= .

20.解(1) ∵an+ Sn=4096, ∴a1+ S1=4096, a1 =2048.

当n≥2时, an= Sn－Sn－1=(4096－an)－(4096－an－1)= an－1－an

∴ = an=2048( )n－1.

(2) ∵log2an=log2[2048( )n－1]=12－n,

∴Tn= (－n2+23n).

由Tn<－509,解待n> ,而n是正整数,于是,n≥46.

∴从第46项起Tn<－509.

21.解(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c= ,则半短轴b=1.

又椭圆的焦点在x轴上, ∴椭圆的标准方程为

(2)设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0),

由 x= 得 x0=2x－1

y= y0=2y－

由,点P在椭圆上,得 ,

∴线段PA中点M的轨迹方程是 .

(3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S△ABC=1.

当直线BC不垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入 ,

解得B( , ),C(－ ,－ ),

则 ,又点A到直线BC的距离d= ,

∴△ABC的面积S△ABC=

于是S△ABC=

由 ≥－1,得S△ABC≤ ,其中,当k=－ 时,等号成立.

∴S△ABC的最大值是 .

22.解(1) 由已知得 =4, ∴b=4.

(2) ∵c∈[1,4], ∴ ∈[1,2],

于是,当x= 时, 函数f(x)=x+ 取得最小值2 .

f(1)－f(2)= ,

当1≤c≤2时, 函数f(x)的最大值是f(2)=2+ ；

当2≤c≤4时, 函数f(x)的最大值是f(1)=1+c.

(3)设0<x1<x2,g(x2)－g(x1)= .

当 <x1<x2时, g(x2)>g(x1), 函数g(x)在[ ,+∞)上是增函数；

当0<x1<x2< 时, g(x2)>g(x1), 函数g(x)在(0, ]上是减函数.

当n是奇数时,g(x)是奇函数,

函数g(x) 在(－∞,－ ]上是增函数, 在[－ ,0)上是减函数.

当n是偶数时, g(x)是偶函数,

函数g(x)在(－∞,－ )上是减函数, 在[－ ,0]上是增函数.

谁有2010江苏高考数学试卷

2010年江苏高考数学试题

一、填空题

1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数a=______▲________

2、设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为______▲________

3、盒子中有大小相同的3只小球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_▲__

4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_▲___根在棉花纤维的长度小于20mm。

5、设函数f(x)=x(ex+ae-x),x∈R，是偶函数，则实数a=_______▲_________

6、在平面直角坐标系xOy中，双曲线 上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是___▲_______

7、右图是一个算法的流程图，则输出S的值是______▲_______

8、函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=____▲_____

9、在平面直角坐标系xOy中，已知圆 上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是______▲_____

10、定义在区间 上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1,直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为_______▲_____

11、已知函数 ,则满足不等式 的x的范围是____▲____

12、设实数x,y满足3≤ ≤8，4≤ ≤9，则 的最大值是_____▲____

13、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c， ，则 __▲

14、将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S= ,则S的最小值是_______▲_______

二、解答题

15、（14分）在平面直角坐标系xOy中，点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1)

(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长

(2)设实数t满足( )? =0，求t的值

16、（14分）如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC，∠BCD=900

(1)求证：PC⊥BC

(2)求点A到平面PBC的距离

17、（14分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m），如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β

(1)该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出H的值

(2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，α-β最大

18.（16分）在平面直角坐标系 中，如图，已知椭圆 的左右顶点为A,B，右顶点为F，设过点T（ ）的直线TA,TB与椭圆分别交于点M ， ，其中m>0,

①设动点P满足 ,求点P的轨迹

②设 ，求点T的坐标

③设 ,求证：直线MN必过x轴上的一定点

（其坐标与m无关）

19．（16分）设各项均为正数的数列 的前n项和为 ，已知 ，数列 是公差为 的等差数列.

①求数列 的通项公式（用 表示）

②设 为实数，对满足 的任意正整数 ，不等式 都成立。求证： 的最大值为

20.（16分）设 使定义在区间 上的函数，其导函数为 .如果存在实数 和函数 ，其中 对任意的 都有 >0，使得 ，则称函数 具有性质 .

(1)设函数 ，其中 为实数

①求证：函数 具有性质

②求函数 的单调区间

(2)已知函数 具有性质 ，给定 ， ，且 ，若| |<| |,求 的取值范围

理科附加题

21（从以下四个题中任选两个作答，每题10分）

(1)几何证明选讲

AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过点D作⊙O的切线交AB延长线于C，若DA=DC，求证AB=2BC

(2)矩阵与变换

在平面直角坐标系xOy中，A(0,0),B(-3,),C(-2,1),设k≠0，k∈R，M= ,N= ,点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点A1,B1,C1,△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求实数k的值

(3)参数方程与极坐标

在极坐标系中，圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值

(4)不等式证明选讲

已知实数a,b≥0，求证：

22、（10分）某厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品一等品80%，二等品20%；生产乙产品，一等品90%，二等品10%。生产一件甲产品，如果是一等品可获利4万元，若是二等品则要亏损1万元；生产一件乙产品，如果是一等品可获利6万元，若是二等品则要亏损2万元。设生产各种产品相互独立

（1）记x（单位：万元）为生产1件甲产品和件乙产品可获得的总利润，求x的分布列

（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率

23、（10分）已知△ABC的三边长为有理数

（1）求证cosA是有理数

（2）对任意正整数n，求证cosnA也是有理数

2007年北京数学高考题最后一道题

第一问：

具有性质P的集合满足集合内没有0及相反数

因此集合{-1,2,3}满足性质P

则：

a∈A,b∈A,(a+b)∈A时，a=-1,b=3或a=3,b=-1

S={(-1,3),(3,-1)}

a∈A,b∈A,(a-b)∈A时，a=2,b=-1或a=2,b=-3

T={(2,-1),(2,3)}

第二问：

设集合A中有k个元素，那么集合T中最多有k^2个元素，即n≤k^2（A中任意两个元素a,b都能满足a∈A,b∈A,(a-b)∈A时，n=k^2）

当集合A满足性质P时：

ai≠0,ai+aj≠0

因此：

集合T中不包含(ai,ai)（ai-ai=0，0?A），此类数对共k个

集合T中数对(ai,aj)与数对(aj,ai)不同时存在（若同时存在，(ai-aj)∈A且(aj-ai)∈A，(ai-aj)+(aj-ai)=0，此时集合A不满足性质P），因此数对数量减半

那么：

n≤(k^2-k)/2

即：

n≤k(k-1)/2

第三问：

(1)

当(a,b)∈S时，(b,a)∈S，(a+b,b)∈T，(a+b,a)∈T（(a+b)∈A）

当数对(a,b),(c,d)都属于S时，a=c与b=d不同时成立，因此a+b=c+d与b=d不同时成立，因此当数对(a,b),(c,d)都属于S时，数对(b,a),(d,c)都属于S，数对(a+b,b),(c+d,d),(a+b,a),(c+d,c)都属于T

此时m≤n（此时只证明了对于S中任意有序数对，都可在T中找到相应有序数对）

(2)

当(a,b)∈T时，(a-b,a)∈S（(a-b)∈A）

当数对(a,b),(c,d)都属于T时，a=c与b=d不同时成立，因此a-b=c-d与a=c不同时成立，因此当数对(a,b),(c,d)都属于S时，数对(a-b,a),(c-d,c)都属于T

此时n≤m（此时只证明了对于T中任意有序数对，都可在S中找到相应有序数对）

由(1),(2)得出结论：

m=n

注：

1.小括号内为注解，不是解题过程

2.与试卷解析解题思路相同，但过程更详细，如果还有不懂得地方，请追问