2009年高考数学答案,2009年高考数学题目

1.2009年和2010年江苏理科数学高考卷试题和答案

2.2009年高考试题——数学（宁夏卷）（理）

3.2009年山东高考理科数学问答试题及答案

4.09年江西数学文科高考题

2010年提供高考答案人的QQ：646675471 1卷的数学希望能帮上你

一、选择题

(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B，则集合 中的元素共有（A）

（A）3个 （B）4个 （C）5个 （D）6个

解： ， 故选A。也可用摩根律：

（2）已知 =2+i,则复数z=（B ）

（A）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i

解： 故选B。

(3) 不等式 ＜1的解集为（ D ）

（A）｛x (B)

（C） (D)

解：验x=-1即可。

(4)设双曲线 （a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C )

（A） （B）2 （C） （D）

解：设切点 ，则切线的斜率为 .由题意有 又

解得: .

(5) 甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( D )

（A）150种 （B）180种 （C）300种 (D)345种

解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有 种选法

(2) 乙组中选出一名女生有 种选法.故共有345种选法.选D

（6）设 、 、 是单位向量，且 ? ＝0，则 的最小值为 ( D )

（A） （B） （C） (D)

解: 是单位向量

故选D.

（7）已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等， 在底面 上的射影为 的中点，则异面直线 与 所成的角的余弦值为（ D ）

（A） （B） （C） (D)

解：设 的中点为D，连结 D，AD，易知 即为异面直线 与 所成的角,由三角余弦定理，易知 .故选D

（8）如果函数 的图像关于点 中心对称，那么 的最小值为（A） （B） （C） (D)

解: 函数 的图像关于点 中心对称

由此易得 .故选A

(9) 已知直线y=x+1与曲线 相切，则α的值为( B )

(A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2

解:设切点 ，则 ,又

.故答案选B

（10）已知二面角 为 ，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为 ，Q到α的距离为 ，则P、Q两点之间距离的最小值为（ C ）

(A) (B)2 (C) (D)4

解:如图分别作

，连

，

又

当且仅当 ，即 重合时取最小值。故答案选C。

（11）函数 的定义域为R，若 与 都是奇函数，则( D )

(A) 是偶函数 (B) 是奇函数 (C) (D) 是奇函数

解: 与 都是奇函数， ，

函数 关于点 ，及点 对称，函数 是周期 的周期函数. ， ，即 是奇函数。故选D

12.已知椭圆 的右焦点为 ,右准线为 ，点 ，线段 交 于点 ，若 ,则 =( A )

(A). (B). 2 (C). (D). 3

解:过点B作 于M,并设右准线 与X轴的交点为N，易知FN=1.由题意 ,故 .又由椭圆的第二定义,得 .故选A

第II卷

二、填空题：

13. 的展开式中， 的系数与 的系数之和等于 。

解:

14. 设等差数列 的前 项和为 ，若 ,则 = 。

解: 是等差数列,由 ,得

.

15. 直三棱柱 的各顶点都在同一球面上，若 , ，则此球的表面积等于 。

解:在 中 , ,可得 ,由正弦定理,可得 外接圆半径r=2,设此圆圆心为 ，球心为 ，在 中，易得球半径 ，故此球的表面积为 .

16. 若 ，则函数 的最大值为 。

解:令 ,

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效）

在 中，内角A、B、C的对边长分别为 、 、 ，已知 ，且 求b

分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1) ,左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.

解法一：在 中 则由正弦定理及余弦定理有: 化简并整理得： .又由已知 .解得 .

解法二:

由余弦定理得:

.

又 , 。

所以 …………………………………①

又 ，

，

即

由正弦定理得 ，

故 ………………………②

由①，②解得 。

评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练。

18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

如图，四棱锥 中，底面 为矩形， 底面 ， , ，点M在侧棱 上， =60°

（I）证明：M在侧棱 的中点

（II）求二面角 的大小。

解法一：

（I）

作 ‖ 交 于点E，则 ‖ ， 平面SAD

连接AE，则四边形ABME为直角梯形

作 ，垂足为F，则AFME为矩形

设 ，则 ，

由

解得

即 ，从而

所以 为侧棱 的中点

（Ⅱ） ，又 ,所以 为等边三角形，

又由（Ⅰ）知M为SC中点

，故

取AM中点G，连结BG，取SA中点H，连结GH，则 ,由此知 为二面角 的平面角

连接 ，在 中，

所以

二面角 的大小为

解法二:

以D为坐标原点，射线DA为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系D-xyz

设 ，则

（Ⅰ）设 ,则

又

故

即

解得 ，即

所以M为侧棱SC的中点

（II）

由 ，得AM的中点

又

所以

因此 等于二面角 的平面角

所以二面角 的大小为

总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会照顾双方的利益。

19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局。

（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；

（II）设 表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求 得分布列及数学期望。

分析：本题较常规，比08年的概率统计题要容易。

需提醒的是：认真审题是前提，部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分，这是很可惜的，主要原因在于没读懂题。

另外，还要注意表述，这也是考生较薄弱的环节。

解：记 表示事件：第i局甲获胜，i=3,4,5

表示事件：第j局乙获胜，j=3,4

（Ⅰ）记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利

因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而

由于各局比赛结果相互独立，故

=

=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6

=0.648

（II） 的可能取值为2，3

由于各局比赛结果相互独立，所以

=

=

=0.6×0.6+0.4×0.4

=0.52

=1.0.52=0.48

的分布列为

2 3

P 0.52 0.48

=2×0.52+3×0.48

=2.48

20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

在数列 中，

（I）设 ，求数列 的通项公式

（II）求数列 的前 项和

解：（I）由已知得 ，且

即

从而

……

于是

=

又

故所求的通项公式

（II）由（I）知 ,

=

而 ,又 是一个典型的错位相减法模型，

易得 =

评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。

21（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

如图，已知抛物线 与圆 相交于 、 、 、 四个点。

（I）求 得取值范围；

（II）当四边形 的面积最大时，求对角线 、 的交点 坐标

分析：（I）这一问学生易下手。

将抛物线 与圆 的方程联立，消去 ，整理得

．．．．．．．．．．．．．（＊）

抛物线 与圆 相交于 、 、 、 四个点的充要条件是：方程（＊）有两个不相等的正根即可.

由此得

解得

又

所以

考生利用数形结合及函数和方程的思想来处理也可以．

（II）考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入的方法处理本小题是一个较好的切入点。

设 与 的四个交点的坐标分别为：

、 、 、 。

则直线 的方程分别为

解得点P的坐标为

设 ，由 及（I）知

由于四边形 为等腰梯形，因而其面积

则

将 代入上式，并令 ，得

求导数

令 ，解得 （舍去）

当 时， ； 时， ； 时，

故当且仅当 时， 有最大值，即四边形 的面积最大，故所求的点P的坐标为

22. 本小题满分12分。（注意：在试题卷上作答无效）

设函数 在两个极值点 ，且

（I）求 满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点 的区域；

(II)证明：

解

（I）

依题意知，方程 有两个根 ， 等价于

由此得b、c满足的约束条件为

满足这些条件的点 的区域为图中阴影部分，

(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标 中的 ，（如果消 会较繁琐）再利用 的范围，并借助（I）中的约束条件得 进而求解，有较强的技巧性。

2009年和2010年江苏理科数学高考卷试题和答案

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style="font-size: 18px;font-weight: bold;border-left: 4px solid #a10d00;margin: 10px 0px 15px 0px;padding: 10px 0 10px 20px;background: #f1dada;">2009年高考试题——数学（宁夏卷）（理）

2010 年江苏高考数学试题 一、填空题 1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a 2 +4},A∩B={3}，则实数a=______▲________ 2、设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为______▲________ 3、盒子中有大小相同的3只小球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_▲__ 4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_▲___根在棉花纤维的长度小于20mm。 5、设函数f(x)=x(e x +ae -x ),x∈ R ，是偶函数，则实数a=_______▲_________ 6、在平面直角坐标系xOy中，双曲线 上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是___▲_______ 7、右图是一个算法的流程图，则输出S的值是______▲_______ 开始 S←1 n←1 S←S+2 n S≥33 n←n+1 否 输出S 结束 是 8、函数y=x 2 (x>0)的图像在点(a k ,a k 2 )处的切线与x轴交点的横坐标为a k+1 ,k为正整数，a 1 =16，则a 1 +a 3 +a 5 =____▲_____ 9、在平面直角坐标系xOy中，已知圆 上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是______▲_____ 10、定义在区间 上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP 1 ⊥x轴于点P 1 ,直线PP 1 与y=sinx的图像交于点P 2 ,则线段P 1 P 2 的长为_______▲_____ 11、已知函数 ,则满足不等式 的x的范围是____▲____ 12、设实数x,y满足3≤ ≤8，4≤ ≤9，则 的最大值是_____▲____ 13、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c， ，则 __▲ 14、将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S= ,则S的最小值是_______▲_______ 二、解答题 15、（14分）在平面直角坐标系xOy中，点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1) (1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长 (2)设实数t满足( )· =0，求t的值 16、（14分）如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC，∠BCD=90 0 (1)求证：PC⊥BC (2)求点A到平面PBC的距离 17、（14分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m），如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β (1)该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出H的值 (2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，α-β最大 A B O F 18.（16分）在平面直角坐标系 中，如图，已知椭圆 的左右顶点为A,B，右顶点为F，设过点T（ ）的直线TA,TB与椭圆分别交于点M ， ，其中m>0, ①设动点P满足 ,求点P的轨迹 ②设 ，求点T的坐标 ③设 ,求证：直线MN必过x轴上的一定点 （其坐标与m无关） 19．（16分）设各项均为正数的数列 的前n项和为 ，已知 ，数列 是公差为 的等差数列. ①求数列 的通项公式（用 表示） ②设 为实数，对满足 的任意正整数 ，不等式 都成立。求证： 的最大值为 20.（16分）设 使定义在区间 上的函数，其导函数为 .如果存在实数 和函数 ，其中 对任意的 都有 >0，使得 ，则称函数 具有性质 . (1)设函数 ，其中 为实数 ①求证：函数 具有性质 ②求函数 的单调区间 (2)已知函数 具有性质 ，给定 ， ，且 ，若| |<| |,求 的取值范围 理科附加题 21（从以下四个题中任选两个作答，每题10分） (1)几何证明选讲 AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过点D作⊙O的切线交AB延长线于C，若DA=DC，求证AB=2BC (2)矩阵与变换 在平面直角坐标系xOy中，A(0,0),B(-3,),C(-2,1),设k≠0，k∈R，M= ,N= ,点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点A 1 ,B 1 ,C 1 ,△A 1 B 1 C 1 的面积是△ABC面积的2倍，求实数k的值 (3)参数方程与极坐标 在极坐标系中，圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值 (4)不等式证明选讲 已知实数a,b≥0，求证： 22、（10分）某厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品一等品80%，二等品20%；生产乙产品，一等品90%，二等品10%。生产一件甲产品，如果是一等品可获利4万元，若是二等品则要亏损1万元；生产一件乙产品，如果是一等品可获利6万元，若是二等品则要亏损2万元。设生产各种产品相互独立 （1）记x（单位：万元）为生产1件甲产品和件乙产品可获得的总利润，求x的分布列 （2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率 23、（10分）已知△ABC的三边长为有理数 （1）求证cosA是有理数 （2）对任意正整数n，求证cosnA也是有理数 绝密★启用前 学科网 2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 学科网 数学Ⅰ 学科网 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）。本卷满分160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。 2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。 5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 参考公式： 学科网 样本数据 的方差 学科网 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分。请把答案填写在答题卡相应的位置上 . 学科网 1.若复数 ，其中 是虚数单位，则复数 的实部为★. 学科网 2.已知向量 和向量 的夹角为 ， ，则向量 和向量 的数量积 ★ . 学科网 3.函数 的单调减区间为 ★ . 学科网 1 1 O x y 4.函数 为常数， 在闭区间 上的图象如图所示，则 ★ . 学科网 学科网 5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为 ★ . 学科网 6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表： 学科网 学生 1号 2号 3号 4号 5号 甲班 6 7 7 8 7 乙班 6 7 6 7 9 开始 输出 结束 Y N 则以上两组数据的方差中较小的一个为 ★ . 学科网 7.右图是一个算法的流程图，最后输出的 ★ . 学科网 8.在平面上，若两个正三角形的连长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在宣传部，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 学科网 9.在平面直角坐标系 中，点P在曲线 上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 ★ . 学科网 10.已知 ，函数 ，若实数 满足 ，则 的大小关系为 ★ . 学科网 11.已知集合 ， ，若 则实数 的取值范围是 ，其中 ★ . 学科网 12.设和 为不重合的两个平面，给出下列命题： 学科网 （1）若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线，则 平行于 ； 学科网 （2）若 外一条直线 与 内的一条直线平行，则和 平行； 学科网 （3）设和 相交于直线 ，若 内有一条直线垂直于 ，则和 垂直； 学科网 （4）直线 与 垂直的充分必要条件是 与 内的两条直线垂直. 学科网 上面命题中，真命题的序号 ★ （写出所有真命题的序号）. 学科网 13．如图，在平面直角坐标系 中， 为椭圆 的四个顶点， 为其右焦点，直线 与直线 相交于点T，线段 与椭圆的交点 恰为线段 的中点，则该椭圆的离心率为 ★ . 学科网 x y A 1 B 2 A 2 O T M 学科网 学科网 14．设 是公比为 的等比数列， ，令 若数列 有连续四项在集合 中，则 ★ . 学科网 学科网 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤 . 学科网 15．（本小题满分14分） 学科网 设向量 学科网 （1）若与 垂直，求 的值； 学科网 （2）求 的最大值; 学科网 （3）若 ，求证： ∥ . 学科网 16．（本小题满分14分） 学科网 A B C A 1 B 1 C 1 E F D 如图，在直三棱柱 中， 分别是 的中点，点在上， 学科网 求证：（1） ∥ 学科网 （2） 学科网 17．（本小题满分14分） 学科网 设 是公差不为零的等差数列， 为其前 项和，满足 学科网 （1）求数列 的通项公式及前 项和 ； 学科网 （2）试求所有的正整数 ，使得 为数列 中的项. 学科网 18．（本小题满分16分） 学科网 在平面直角坐标系 中，已知圆 和圆 学科网 x y O 1 1 . . 学科网 （1）若直线 过点 ，且被圆 截得的弦长为 ，求直线 的方程； 学科网 （2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂的直线 ，它们分别与圆 和圆 相交，且直线 被圆 截得的弦长与直线 被圆 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标. 学科网 19.(本小题满分16分) 学科网 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为 元，如果他卖出该产品的单价为 元，则他的满意度为 ；如果他买进该产品的单价为 元，则他的满意度为 .如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为 和 ，则他对这两种交易的综合满意度为 . 学科网 现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为 元和 元，甲买进A与卖出B的综合满意度为 ，乙卖出A与买进B的综合满意度为 学科网 (1) 求和 关于 、 的表达式；当时，求证： = ； 学科网 (2) 设 ，当、 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？ 学科网 (3) 记(2)中最大的综合满意度为 ，试问能否适当选取 、 的值，使得 和 同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。 学科网 学科网 20．(本小题满分16分) 学科网 设 为实数，函数 . 学科网 (1) 若 ，求 的取值范围； 学科网 (2) 求 的最小值； 学科网 (3) 设函数 ，直接写出(不需给出演算步骤)不等式 的解集. 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网

2009年山东高考理科数学问答试题及答案

2009年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷）

数学（理工农医类）

第I卷

一， 选择题：（本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中 ，中有一项是符合题目要求的。

（1） 已知集合 ,则

(A) (B)

(C) (D)

(2) 复数

（A）0 （B）2 （C）-2i (D)2

（3）对变量x, y 有观测数据理力争（ ， ）（i=1,2,…，10），得散点图1；对变量u ，v 有观测数据（ ， ）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断。

（A）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 （B）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关

（C）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 （D）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关

（4）双曲线 - =1的焦点到渐近线的距离为

（A） （B）2 （C） （D）1

（5）有四个关于三角函数的命题：

： x R, + = : x、y R, sin(x-y)=sinx-siny

: x , =sinx : sinx=cosy x+y=

其中假命题的是

（A） ， （B） ， （3） ， （4） ，

（6）设x,y满足

（A）有最小值2，最大值3 （B）有最小值2，无最大值

（C）有最大值3，无最小值 （D）既无最小值，也无最大值

（7）等比数列 的前n项和为 ，且4 ，2 ， 成等差数列。若 =1，则 =

（A）7 （B）8 （3）15 （4）16

（8） 如图，正方体 的棱线长为1，线段 上有两个动点E，F，且 ，则下列结论中错误的是

（A）

（B）

（C）三棱锥 的体积为定值

（D）异面直线 所成的角为定值

（9）已知O，N，P在 所在平面内，且 ，且 ，则点O，N，P依次是 的

（A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 内心

（C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 内心

（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）

（10）如果执行右边的程序框图，输入 ，那么输出的各个数的合等于

（A）3 （B） 3.5 （C） 4 （D）4.5

（11）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c ）为

（A）48+12 （B）48+24 （C）36+12 （D）36+24

（12）用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值

设f（x）=min{, x+2,10-x} (x 0),则f（x）的最大值为

（A）4 （B）5 （C）6 （D）7

第II卷

二、填空题；本大题共4小题，每小题5分。

（13）设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线 的方程为_____________.

（14）已知函数y=sin（ x+ ）（ >0, - < ）的图像如图所示，则 =________________

（15）7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排3人，则不同的安排方案共有________________种（用数字作答）。

（16）等差数列{ }前n项和为 。已知 + - =0， =38,则m=_______

三、解答题：解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。

（18）（本小题满分12分）

某工厂有工人1000名， 其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人），现用分层抽样方法（按A类、B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）。

（I）求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为A类工人，乙为B类工人；

（II）从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽插结果分别如下表1和表2.

（i）先确定x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）

（ii）分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

（19）（本小题满分12分）

如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的 倍，P为侧棱SD上的点。

（Ⅰ）求证：AC⊥SD；

（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，

使得BE‖平面PAC。若存在，求SE：EC的值；

若不存在，试说明理由。

（20）（本小题满分12分）

已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点， =λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

（21）（本小题满分12分）

已知函数

（I） 如 ，求 的单调区间；

（II） 若 在 单调增加，在 单调减少，证明

＜6.

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

（22）本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，已知 的两条角平分线 和 相交于H， ，F在 上，

且 。

（I） 证明：B,D,H,E四点共圆：

（II） 证明： 平分 。

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系于参数方程

已知曲线 （t为参数），

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

如图，O为数轴的原点，A,B,M为数轴上三点，C为线段OM上的动点，设x表示C与原点的距离，y 表示C到A距离4倍与C道B距离的6倍的和.

（1）将y表示成x的函数；

（2）要使y的值不超过70，x 应该在什么范围内取值？

09年江西数学文科高考题

2009年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)

理科数学

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页，满分150分，考试时间120分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

注意事项：

1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答;不能写在试题卷上; 如需改动，先画掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸,修正带,不按以上要求作答的答案无效。

4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.。

参考公式：

柱体的体积公式V=Sh，其中S是柱体的底面积，h是锥体的高。

锥体的体积公式V= ，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。

如果事件A,B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B);R如果事件A,B独立,那么P(AB)=P(A)P(B).

事件A在一次试验中发生的概率是 ,那么 次独立重复试验中事件A恰好发生 次的概率: .

第Ⅰ卷(共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.集合 , ,若 ,则 的值为( )

A.0 B.1 C.2 D.4

解析:∵ , , ∴ ∴ ,故选D.

答案:D

命题立意:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题.

2.复数 等于（ ）.

A． B. C. D.

2. 解析: ,故选C. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

答案:C

命题立意:本题考查复数的除法运算，分子、分母需要同乘以分母的共轭复数，把分母变为实数，将除法转变为乘法进行运算.

3.将函数 的图象向左平移 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).

A. B. C. D.

3. 解析:将函数 的图象向左平移 个单位,得到函数 即 的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为 ,故选B.

答案:B

命题立意:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

4. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).

A. B. C. D.

解析:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,

圆柱的底面半径为1,高为2,体积为 ,四棱锥的底面

边长为 ，高为 ，所以体积为

所以该几何体的体积为 .

答案:C

命题立意:本题考查了立体几何中的空间想象能力,

由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地

计算出.几何体的体积.

5. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的

一条直线，则“ ”是“ ”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

解析:由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的

一条直线, ,则 ,反过来则不一定.所以“ ”是“ ”的必要不充分条件. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

答案:B.

命题立意:本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念.

6. 函数 的图像大致为( ).

解析:函数有意义,需使 ,其定义域为 ,排除C,D,又因为 ,所以当 时函数为减函数,故选A. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

答案:A.

命题立意:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.

7.设P是△ABC所在平面内的一点， ，则（　　　）

A. B. C. D.

解析:因为 ，所以点P为线段AC的中点，所以应该选B。

答案：B。

命题立意:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则，

可以借助图形解答。

8.某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品

净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),

[100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于

100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且

小于104克的产品的个数是( ).

A.90 B.75 C. 60 D.45

解析:产品净重小于100克的概率为(0.050+0.100)×2=0.300,

已知样本中产品净重小于100克的个数是36,设样本容量为 ,

则 ,所以 ,净重大于或等于98克并且小于

104克的产品的概率为(0.100+0.150+0.125)×2=0.75,所以样本

中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是

120×0.75=90.故选A.

答案:A

命题立意:本题考查了统计与概率的知识,读懂频率分布直方图,会计算概率以及样本中有关的数据.

9. 设双曲线 的一条渐近线与抛物线y=x +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ). w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

A. B. 5 C. D.

解析:双曲线 的一条渐近线为 ,由方程组 ,消去y,得 有唯一解,所以△= ,

所以 , ,故选D. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

答案:D.

命题立意:本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能.

10. 定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则f（2009）的值为( )

A.-1 B. 0 C.1 D. 2

解析:由已知得 , , ,

, ,

, , ,

所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f（2009）= f（5）=1,故选C.

答案:C.

命题立意:本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算.

11.在区间[-1，1]上随机取一个数x， 的值介于0到 之间的概率为( ).

A. B. C. D. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

解析:在区间[-1，1]上随机取一个数x,即 时,要使 的值介于0到 之间,需使 或 ∴ 或 ，区间长度为 ，由几何概型知 的值介于0到 之间的概率为 .故选A.

答案:A

命题立意:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量x的取值范围,得到函数值 的范围,再由长度型几何概型求得.

12. 设x，y满足约束条件 ，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值为12，

则 的最小值为( ).

A. B. C. D. 4

解析:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z（a>0，b>0）

过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时,

目标函数z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12,

即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而 = ,故选A.

答案:A

命题立意:本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知2a+3b=6,求 的最小值常用乘积进而用基本不等式解答. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

第 卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13.不等式 的解集为 .

解析:原不等式等价于不等式组① 或②

或③ 不等式组①无解,由②得 ,由③得 ,综上得 ,所以原不等式的解集为 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

答案:

命题立意:本题考查了含有多个绝对值号的不等式的解法,需要根据绝对值的定义分段去掉绝对值号,最后把各种情况综合得出答案.本题涉及到分类讨论的数学思想.

14.若函数f(x)=a -x-a(a>0且a 1)有两个零点，则实数a的取值范围是 .

解析: 设函数 且 和函数 ,则函数f(x)=a -x-a(a>0且a 1)有两个零点, 就是函数 且 与函数 有两个交点,由图象可知当 时两函数只有一个交点,不符合,当 时,因为函数 的图象过点(0,1),而直线 所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是

答案: w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

命题立意:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答.

15.执行右边的程序框图，输出的T= .

解析:按照程序框图依次执行为S=5,n=2,T=2;

S=10,n=4,T=2+4=6;S=15,n=6,T=6+6=12;

S=20,n=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T=20+10=30>S,输出T=30

答案:30

命题立意:本题主要考查了循环结构的程序框图,一般都可以

反复的进行运算直到满足条件结束,本题中涉及到三个变量,

注意每个变量的运行结果和执行情况.

16.已知定义在R上的奇函数 ，满足 ,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间 上有四个不同的根 ,则 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

解析:因为定义在R上的奇函数，满足 ,所以 ,所以, 由 为奇函数,所以函数图象关于直线 对称且 ,由 知 ,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为 在区间[0,2]上是增函数,所以 在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间 上有四个不同的根 ,不妨设 由对称性知 所以

答案:-8

命题立意:本题综合考查了函数的奇偶性,单调性,

对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题,

运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题.

三、解答题：本大题共6分，共74分。

17.(本小题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+ )+sin x.

(1) 求函数f(x)的最大值和最小正周期.

(2) 设A,B,C为 ABC的三个内角，若cosB= ， ，且C为锐角，求sinA.

解: （1）f(x)=cos(2x+ )+sin x.=

所以函数f(x)的最大值为 ,最小正周期 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（2） = =－ , 所以 , 因为C为锐角, 所以 ,

又因为在 ABC 中, cosB= , 所以 , 所以w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

.

命题立意:本题主要考查三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式、三角函数的性质以及三角形中的三角关系.

（18）（本小题满分12分）

如图，在直四棱柱ABCD-A B C D 中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2, AA =2, E、E 、F分别是棱AD、AA 、AB的中点。

（1） 证明：直线EE //平面FCC ；

（2） 求二面角B-FC -C的余弦值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

解法一：（1）在直四棱柱ABCD-A B C D 中，取A1B1的中点F1，

连接A1D，C1F1，CF1，因为AB=4, CD=2,且AB//CD，

所以CD=//A1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1//A1D，

又因为E、E 分别是棱AD、AA 的中点，所以EE1//A1D，

所以CF1//EE1，又因为 平面FCC ， 平面FCC ，

所以直线EE //平面FCC .

（2）因为AB=4, BC=CD=2, 、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形,取CF的中点O,则OB⊥CF,又因为直四棱柱ABCD-A B C D 中,CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BO,所以OB⊥平面CC1F,过O在平面CC1F内作OP⊥C1F,垂足为P,连接BP,则∠OPB为二面角B-FC -C的一个平面角, 在△BCF为正三角形中, ,在Rt△CC1F中, △OPF∽△CC1F,∵ ∴ , w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

在Rt△OPF中, , ,所以二面角B-FC -C的余弦值为 .

解法二:（1）因为AB=4, BC=CD=2, F是棱AB的中点,

所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形, 因为ABCD为

等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF的中点M,

连接DM,则DM⊥AB,所以DM⊥CD,

以DM为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,

,则D（0,0,0）,A（ ,-1,0）,F（ ,1,0）,C（0,2,0）,

C1（0,2,2）,E（ , ,0）,E1（ ,-1,1）,所以 , , 设平面CC1F的法向量为 则 所以 取 ,则 ,所以 ,所以直线EE //平面FCC . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（2） ,设平面BFC1的法向量为 ,则 所以 ,取 ,则 ,

, , w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

所以 ,由图可知二面角B-FC -C为锐角,所以二面角B-FC -C的余弦值为 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

命题立意:本题主要考查直棱柱的概念、线面位置关系的判定和二面角的计算.考查空间想象能力和推理运算能力,以及应用向量知识解答问题的能力.

(19)(本小题满分12分)

在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q 为0.25，在B处的命中率为q ，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用 表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为

0 2 3 4 5

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m p

0.03 P1 P2 P3 P4

（1） 求q 的值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（2） 求随机变量 的数学期望E ;

（3） 试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。

解:（1）设该同学在A处投中为事件A,在B处投中为事件B,则事件A,B相互独立,且P(A)=0.25, , P(B)= q , .

根据分布列知: =0时 =0.03,所以 ，q =0.8.

（2）当 =2时, P1= w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

=0.75 q ( )×2=1.5 q ( )=0.24

当 =3时, P2 = =0.01,

当 =4时, P3= =0.48,

当 =5时, P4=

=0.24

所以随机变量 的分布列为

0 2 3 4 5

p 0.03 0.24 0.01 0.48 0.24

随机变量 的数学期望

（3）该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为

;

该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.

由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大.

命题立意:本题主要考查了互斥事件的概率,相互独立事件的概率和数学期望,以及运用概率知识解决问题的能力.

（20）（本小题满分12分）

等比数列{ }的前n项和为 ， 已知对任意的 ，点 ，均在函数 且 均为常数)的图像上.

（1）求r的值；

（11）当b=2时，记

证明：对任意的 ，不等式 成立

解:因为对任意的 ,点 ，均在函数 且 均为常数的图像上.所以得 ,当 时, ,当 时, ,又因为{ }为等比数列,所以 ,公比为 ,

（2）当b=2时， ,

则 ,所以

下面用数学归纳法证明不等式 成立.

① 当 时,左边= ,右边= ,因为 ,所以不等式成立.

② 假设当 时不等式成立,即 成立.则当 时,左边=

所以当 时,不等式也成立.

由①、②可得不等式恒成立.

命题立意:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知 求 的基本题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式.

（21）（本小题满分12分）

两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧 上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在 的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.

（1）将y表示成x的函数；

（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。

解法一:（1）如图,由题意知AC⊥BC, ,

其中当 时，y=0.065,所以k=9

所以y表示成x的函数为

（2） , ,令 得 ,所以 ,即 ,当 时, ,即 所以函数为单调减函数,当 时, ,即 所以函数为单调增函数.所以当 时, 即当C点到城A的距离为 时, 函数 有最小值.

解法二: （1）同上.

（2）设 ,

则 , ,所以

当且仅当 即 时取”=”.

下面证明函数 在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数.

设0<m1<m2<160,则

,

因为0<m1<m2<160,所以4 >4×240×240

9 m1m2<9×160×160所以 ,

所以 即 函数 在(0,160)上为减函数.

同理,函数 在(160,400)上为增函数,设160<m1<m2<400,则

因为1600<m1<m2<400,所以4 <4×240×240, 9 m1m2>9×160×160

所以 ,

所以 即 函数 在(160,400)上为增函数.

所以当m=160即 时取”=”,函数y有最小值,

所以弧 上存在一点，当 时使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小.

命题立意:本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的 能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题.

（22）（本小题满分14分）

设椭圆E: （a,b>0）过M（2， ） ，N( ,1)两点，O为坐标原点，

（I）求椭圆E的方程；

（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且 ？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。

解:（1）因为椭圆E: （a,b>0）过M（2， ） ，N( ,1)两点,

所以 解得 所以 椭圆E的方程为

（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且 ,设该圆的切线方程为 解方程组 得 ,即 ,

则△= ,即

, 要使 ,需使 ,即 ,所以 ,所以 又 ,所以 ,所以 ,即 或 ,因为直线 为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为 , , ,所求的圆为 ,此时圆的切线 都满足 或 ,而当切线的斜率不存在时切线为 与椭圆 的两个交点为 或 满足 ,综上, 存在圆心在原点的圆 ，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且 .

因为 ,

所以 ,

,

①当 时

因为 所以 ,

所以 ,

所以 当且仅当 时取”=”.

② 当 时, .

③ 当AB的斜率不存在时, 两个交点为 或 ,所以此时 ,

综上, |AB |的取值范围为 即:

命题立意:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.

22．（本小题满分14分）如图，已知圆 是椭圆 的内接△ 的内切圆, 其中 为椭圆的左顶点. （1）求圆 的半径 ;（2）过点 作圆 的两条切线交椭圆于 两点，G．证明：直线 与圆 相切． 解: （1）设 ，过圆心 作 于 , 交长轴于 由 得 ,即 (1) 而点 在椭圆上, (2)由(1)、 (2)式得 ,解得 或 （舍去）(2) 设过点 与圆 相切的直线方程为: (3)则 ,即 (4)解得 将(3)代入 得 ,则异于零的解为 设 , ，则 则直线 的斜率为： 于是直线 的方程为: 即 则圆心 到直线 的距离 故结论成立.