高考数学例题_高考数学例题及答案解析

1.200道高中数学题

(1)P=p1+(1-p1)*p2+(1-p1)*(1-p2)*p3

甲能完成+甲不能完成乙能完成+甲乙不能完成丙能完成

(2)P(x=1)=q1,P(x=2)=(1-q1)*q2,P(x=3)=(1-q1)*(1-q2),EX=5-2q1-q2+q1q2

第一个人能完成 ，，，，，

第一个不能完成第二个能，，，，

一二不能三能

P(x=1)* 1+P(X=2)*2+P(X=3)*3

(3)EX=5-2q1-q2+q1q2,

=(1-q1)(2-q2)+3

q1大，q2大，E大，

q1>q2,E大

200道高中数学题

几种数学题型解法归纳

第一种：数列(等差数列与等比数列)

——北京十二中特级教师 刘文武

清华附中特级教师 张小英

数列是高中数学中的一个重要课题，也是数学竞赛中经常出现的问题。数列中最基本的是等差数列与等比数列。

所谓数列，就是按一定次序排列的一列数。如果数列{an}的第n项an与项数(下标)n之间的函数关系可以用一个公式an=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。

从函数角度看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…n})的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。

为了解数列竞赛题，首先要深刻理解并熟练掌握两类基本数列的定义、性质有关公式，把握它们之间的(同构)关系。

一、 等差数列

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

等差数列{an}的通项公式为：

an=a1+(n-1)d (1)

前n项和公式为：

(2)

从(1)式可以看出，an是n的一次数函(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由(2)式知，Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。

在等差数列{an}中，等差中项：

，

且任意两项am，an的关系为：

an=am+(n-m)d

它可以看作等差数列广义的通项公式。

从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：

a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…,n}

若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有

am+an=ap+aq

Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1

Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差数列，等等。

二、 等比数列

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。

等比数列{an}的通项公式是：

an=a1·qn-1

前n项和公式是：

在等比数列中，等比中项：

，

且任意两项am，an的关系为an=am·qn-m

如果等比数列的公比q满足0＜∣q∣＜1，这个数列就叫做无穷递缩等比数列，它的各

项的和(又叫所有项的和)的公式为：

从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：

a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}

若m，n，p，q∈N*，则有：

ap·aq=am·an，

记πn=a1·a2…an，则有

π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1

另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则{Can}是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。

重要的不仅是两类基本数列的定义、性质，公式；而且蕴含于求和过程当中的数学思想方法和数学智慧，也是极其珍贵的，诸如“倒排相加”(等差数列)，“错位相减”(等比数列)。

数列中主要有两大类问题，一是求数列的通项公式，二是求数列的前n项和。

三、 范例

例1．设ap，aq，am，an是等比数列{an}中的第p、q、m、n项，若p+q=m+n，求证：apoaq=amoan

证明：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则

ap=a1·qp-1，aq=a1·qq-1，am=a1·qm-1，an=a1·qn-1

所以：

ap·aq=a12qp+q-2，am·an=a12·qm+n-2，

故：ap·aq=am+an

说明：这个例题是等比数列的一个重要性质，它在解题中常常会用到。它说明等比数列中距离两端(首末两项)距离等远的两项的乘积等于首末两项的乘积，即：

a1+k·an-k=a1·an

对于等差数列，同样有：在等差数列{an}中，距离两端等这的两项之和等于首末两项之和。即：

a1+k+an-k=a1+an

例2．在等差数列{an}中，a4+a6+a8+a10+a12=120，则2a9-a10=

A.20 B.22 C.24 D28

解：由a4+a12=2a8，a6+a10 =2a8及已知或得

5a8=120，a8=24

而2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a1+7d=a8=24。

故选C

例3．已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则有( )

A.a1+a101＞0 B. a2+a100＜0 C.a3+a99=0 D.a51=51

[2000年北京春季高考理工类第(13)题]

解：显然，a1+a2+a3+…+a101

故a1+a101=0，从而a2+a100=a3+a99=a1+a101=0，选C

例4．设Sn为等差数列{an}的前n项之各，S9=18，an-4=30(n＞9)，Sn=336，则n为( )

A.16 B.21 C.9 D8

解：由于S9=9×a5=18，故a5=2，所以a5+an-4=a1+an=2+30=32，而，故n=21选B

例5．设等差数列{an}满足3a8=5a13，且a1＞0，Sn为其前n项之和，则Sn(n∈N*)中最大的是( )。 (1995年全国高中联赛第1题)

(A)S10 (B)S11 (C)S20 (D)S21

解：∵3a8=5a13

∴3(a1+7d)=5(a1+12d)

故

令an≥0→n≤20；当n＞20时an＜0

∴S19=S20最大，选(C)

注：也可用二次函数求最值

例6．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样的数列共有( )

(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个

[1997年全国高中数学联赛第3题]

解：设等差数列首项为a，公差为d，则依题意有( )

即[2a+(n-1)d]on=2×972 (*)

因为n是不小于3的自然数，97为素数，故数n的值必为2×972的约数(因数)，它只能是97，2×97，972，2×972四者之一。

若d＞0，则d≥1由(*)式知2×972≥n(n-1)d≥n(n-1)故只可能有n=97，(*)式化为：a+48d=97，这时(*)有两组解：

若d=0，则(*)式化为：an=972，这时(*)也有两组解。

故符今题设条件的等差数列共4个，分别为：

49，50，51，…，145，(共97项)

1，3，5，…，193，(共97项)

97，97，97，…，97，(共97项)

1，1，1，…，1(共972=9409项)

故选(C)

例7．将正奇数集合{1，3，5，…}由小到大按第n组有(2n-1)个奇数进行分组：

{1}， {3，5，7}，{9，11，13，15，17}，…

(第一组) (第二组) (第三组)

则1991位于第 组中。

[1991年全国高中数学联赛第3题]

解：依题意，前n组中共有奇数

1+3+5+…+(2n-1)=n2个

而1991=2×996-1，它是第996个正奇数。

∵312=961＜996＜1024=322

∴1991应在第31+1=32组中。

故填32

例8．一个正数，若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列，则该数为 。

[1989年全国高中联赛试题第4题]

解：设该数为x，则其整数部分为[x]，小数部分为x-[x]，由已知得：x·(x-[x]=[x]2

其中[x]＞0，0＜x-[x]＜1，解得：

由0＜x-[x]＜1知，

∴[x]=1，

故应填

例9．等比数列{an}的首项a1=1536，公比，用πn表示它的前n项之积，则πn(n∈N*)最大的是( )

(A)π9 (B)π11 (C)π12 (D)π13

[1996年全国高中数学联赛试题]

解：等比数列{an}的通项公式为，前n项和

因为

故π12最大。

选(C)

例10．设x≠y，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均为等差数列，那么= 。

[1988年全国高中联赛试题]

解：依题意，有y-x=4(a2-a1) ∴；

又y-x=3(b3-b2) ∴

∴

例11．设x,y,Z是实数，3x,4y,5z成等比数列，且成等差数列，则的值是 。[1992年全国高中数学联赛试题]

解：因为3x,4y,5z成等比数列，所以有

3x·5z=(4y)2 即16y2=15xz ①

又∵成等差数列，所以有即②

将②代入①得：

∵x≠0,y≠0,z≠0

∴64xz=15(x2+2xz+z2)

∴15(x2+z2)=34xz

∴

例12．已知集合M={x,xy,lg(xy)}及N={0,∣x∣,y}

并且M=N，那么的值等于 。

解：由M=N知M中应有一元素为0，任由lg(xy)有意义知xy≠0，从而x≠0，且y≠0，故只有lg(xy)=0， xy=1，M={x,1,0}；若y=1，则x=1，M=N={0，1，1}与集合中元素互异性相连，故y≠1，从而∣x∣=1，x=±1；由x=1 y=1(含)，由x=-1 y=-1，M=N={0,1,-1}

此时，

从而

注：数列x，x2，x3，…，x2001；以及

在x=y=-1的条件下都是周期为2的循环数列，S2n-1=-2，S2n=0，故2001并不可怕。

例13．已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)且a1=9，其前n项之和为Sn，则满足不等式( )

∣Sn-n-6∣＜的最小整数n是( )

(A)5 (B)6 (C)7 (D)8

解：[1994年全国高中数学联赛试题]

由3an+1+an=4(n≥1)

3an+1-3=1-an

故数列{an-1}是以8为首项，以为公比的等比数列，所以

当n=7时满足要求，故选(C)

[注]：数列{an}既不是等差数列，也不是等比数列，而是由两个项数相等的等差数列：1，1，…，1和等比数列： 的对应项的和构成的数列，故其前n项和Sn可转化为相应的两个已知数列的和，这里，观察通项结构，利用化归思想把未知转化为已知。

例14．设数列{an}的前n项和Sn=2an-1(n=1,2,…)，数列{bn}满足b1=3,bk+1=ak+bk(k=1,2,…)求数列{bn}的前n项和。

[1996年全国高中数学联赛第二试第一题]

解：由Sn=2an-1，令n=1，得S1=a1=2a1-1，∴a1=1 ①

又Sn=2an-1 ②

Sn-1=2an-1-1 ③

②-③得：Sn-sn-1=2an-2an-1

∴an=2an-2an-1

故

∴数列{an}是以a1=1为首项，以q=2为公比的等比数列，故an=2n-1 ④

由⑤

∴以上诸式相加，得

注：本题综合应用了a1-s1，a3=Sn-Sn-1(n≥2)以及等差数列、等比数列求和公式以及叠加等方法，从基本知识出发，解决了较为复杂的问题。选准突破口，发现化归途径，源于对基础知识的深刻理念及其联系的把握。

例15．n2个正数排成n行n列

a11，a12，a13，a14，…，a1n

a21，a22，a23，a24，…，a2n

a31，a32，a33，a34，…，a3n

a41，a42，a43，a44，…，a4n

an1，an2，an3，an4，…，ann。

其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等。已知

[1990年全国高中数学联赛第一试第四题]

解：设第一行数列公差为d，纵行各数列公比为q，则原n行n列数表为：

故有：

②÷③得，代入①、②得④

因为表中均为正数，故q＞0，∴，从而，因此，对于任意1≤k≤n，有

记S=a11+a22+a33+…+ann ⑤

⑥

⑤-⑥得：

即

评注：本题中求和，实为等差数列an=n与等比数列的对应项乘积构成的新数列的前n项的和，将⑤式两边同乘以公比，再错项相减，化归为等比数列求各。这种方法本是求等比数列前n项和的基本方法，它在解决此类问题中非常有用，应予掌握。课本P137复习参考题三B组题第6题为：求和：S=1+2x+3x2+…+nxn-1；2003年北京高考理工类第(16)题：已知数列{an}是等差数列，且a1=2,a1+a2+a3=12，(I)求数列{an}的通项公式；(II)令bn=an·xn(x∈R)，求数列{bn}的前n项和公式。都贯穿了“错项相减”方法的应用。

第二种：指数函数与对数函数 ————北京十二中 刘文武 指数、对数以及指数函数与对数函数，是高中代数非常重要的内容。无论在高考及数学竞赛中，都具有重要地位。熟练掌握指数对数概念及其运算性质，熟练掌握指数函数与对数函数这一对反函数的性质、图象及其相互关系，对学习好高中函数知识，意义重大。 一、 指数概念与对数概念： 指数的概念是由乘方概念推广而来的。相同因数相乘a·a……a(n个)=an导出乘方，这里的n为正整数。从初中开始，首先将n推广为全体整数；然后把乘方、开方统一起来，推广为有理指数；最后，在实数范围内建立起指数概念。 欧拉指出：“对数源出于指数”。一般地，如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N，就是ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b 其中a叫做对数的底数，N叫做真数。 ab=N与b=logaN是一对等价的式子，这里a是给定的不等于1的正常数。当给出b求N时，是指数运算，当给出N求b时，是对数运算。指数运算与对数运算互逆的运算。 二、指数运算与对数运算的性质 1．指数运算性质主要有3条： ax·ay=ax+y,(ax)y=axy,(ab)x=ax·bx（a>0,a≠1,b>0,b≠1） 2．对数运算法则（性质）也有3条： （1）loga(MN)=logaM+logaN （2）logaM/N=logaM-logaN （3）logaMn=nlogaM(n∈R) (a>0,a≠1,M>0,N>0) 3．指数运算与对数运算的关系： X=alogax；mlogan=nlogam 4．负数和零没有对数；1的对数是零，即 loga1=0；底的对数是1，即logaa=1 5．对数换底公式及其推论： 换底公式：logaN=logbN/logba 推论1：logamNn=(n/m)logaN 推论2： 三、指数函数与对数函数 函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数。它的基本情况是： （1）定义域为全体实数（-∞，+∞） （2）值域为正实数（0，+∞），从而函数没有最大值与最小值，有下界，y>0 （3）对应关系为一一映射，从而存在反函数--对数函数。 （4）单调性是：当a>1时为增函数；当00,a≠1), f(x+y)=f(x)·f(y),f(x-y)=f(x)/f(y) 函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数，它的基本情况是： （1）定义域为正实数（0，+∞） （2）值域为全体实数（-∞，+∞） （3）对应关系为一一映射，因而有反函数——指数函数。 （4）单调性是：当a>1时是增函数，当00,a≠1)， f(x·y)=f(x)+f(y), f(x/y)=f(x)-f(y) 例1．若f(x)=(ax/(ax+√a))，求f(1/1001)+f(2/1001)+f(3/1001)+…+f(1000/1001) 分析：和式中共有1000项，显然逐项相加是不可取的。需找出f(x)的结构特征，发现规律，注意到1/1001+1000/1001=2/1001+999/1001=3/1001+998/1001=…=1， 而f(x)+f(1-x)=(ax/(ax+√a))+(a1-x/(a1-x+√a))=(ax/(ax+√a))+(a/(a+ax·√a))=(ax/(ax+√a))+((√a)/(ax+√a))=((ax+√a)/(ax+√a))=1规律找到了，这启示我们将和式配对结合后再相加： 原式=[f(1/1001)+f(1000/1001)]+[f(2/1001)+f(999/1001)]+…+[f(500/1001)+f(501/1001)]=(1+1+…+1)5000个=500 说明：观察比较，发现规律f(x)+f(1-x)=1是本例突破口。 （1）取a=4就是1986年的高中数学联赛填空题：设f(x)=(4x/(4x+2))，那么和式f(1/1001)+f(2/1001)+f(3/1001)+…+f(1000/1001)的值= 。 （2）上题中取a=9，则f(x)=(9x/(9x+3))，和式值不变也可改变和式为求f(1/n)+f(2/n)+f(3/n)+…+f((n-1)/n). （3）设f(x)=(1/(2x+√2))，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，可求得f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值为 。这就是2003年春季上海高考数学第12题。 例2．5log25等于：（ ） （A）1/2 （B）(1/5)10log25 （C）10log45 （D）10log52 解：∵5log25=(10/2)log25=(10log25)/(2log25)=(1/5)×10log25 ∴选（B） 说明：这里用到了对数恒等式：alogaN=N(a＞0,a≠1,N＞0) 这是北京市1997年高中一年级数学竞赛试题。 例3．计算 解法1：先运用复合二次根式化简的配方法对真数作变形。 解法2：利用算术根基本性质对真数作变形，有 说明：乘法公式的恰当运用化难为易，化繁为简。 例4．试比较(122002+1)/(122003+1)与(122003+1)/(122004+1)的大小。 解：对于两个正数的大小，作商与1比较是常用的方法，记122003=a＞0，则有 ((122002+1)/(122003+1))÷((122003+1)/(122004+1))=((a/12)+1)/(a+1)·((12a+1)/(a+1))=((a+12)(12a+1))/(12(a+1)2)=((12a2+145a+12)/(12a2+24a+12))＞1 故得：((122002+1)/(122003+1))＞((122003+1)/(122004+1)) 例5．已知(a,b为实数)且f(lglog310)=5，则f(lglg3)的值是（ ） （A）-5 （B）-3 （C）3 （D）随a,b的取值而定 解：设lglog310=t，则lglg3=lg(1/log310)=-lglog310=-t 而f(t)+f(-t)= ∴f(-t)=8-f(t)=8-5=3 说明：由对数换底公式可推出logab·logba=(lgb/lga)·(lga/lgb)=1，即logab=(1/logba)，因而lglog310与lglg3是一对相反数。设中的部分，则g(x)为奇函数，g(t)+g(-t)=0。这种整体处理的思想巧用了奇函数性质使问题得解，关键在于细致观察函数式结构特征及对数的恒等变形。

第三种：二次函数 二次函数是最简单的非线性函数之一，而且有着丰富内涵。在中学数学数材中，对二次函数和二次方程，二次三项式及二次不等式以及它们的基本性质，都有深入和反复的讨论与练习。它对近代数学，乃至现代数学，影响深远，为历年来高考数学考试的一项重点考查内容，历久不衰，以它为核心内容的重点试题，也年年有所变化，不仅如此，在全国及各地的高中数学竞赛中，有关二次函数的内容也是非常重要的命题对象。因此，必须透彻熟练地掌握二次函数的基本性质。 学习二次函数的关键是抓住顶点（-b/2a，(4ac-b2)/4a），顶点的由来体现了配方法（y=ax2+bx+c=a(x+b/2a)2+(4ac-b2)/4a）；图象的平移归结为顶点的平移（y=ax2→y=a(x-h)2+k）；函数的对称性（对称轴x=-b/2a，f (-b/2a+x)=f (-b/2a-x)，x∈R），单调区间（-∞，-b/2a），[-b/2a,+∞]、极值（(4ac-b2)/4a），判别式（Δb2-4ac）与X轴的位置关系（相交、相切、相离）等，全都与顶点有关。 一、“四个二次型”概述 在河南教育出版社出版的《漫谈ax2+bx+c》一书中（作者翟连林等），有如下一个“框图”： （一元）二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0) → a=0 → （一元）一次函数 y=bx+c(b≠0) ↑ ↑ ↑ ↑ （一元）二次三项式 ax2+bx+c(a≠0) → a=0 → 一次二项式 bx+c(b≠0) ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) → a=0 → 一元一次方程 bx+c=0(b≠0) ↓ ↓ ↓ 一元二次不等式 ax2+bx+c>0或 ax2+bx+c<0(a≠0) → a=0 → 一元一次不等式 bx+c>0或 bx+c<0(b≠0) 观察这个框图，就会发现：在a≠0的条件下，从二次三项式出发，就可派生出一元二次函数，一元二次方程和一元二次不等式来。故将它们合称为“四个二次型”。其中二次三项式ax2+bx+c(a≠0)像一颗心脏一样，支配着整个“四个二次型”的运动脉络。而二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，犹如“四个二次型”的首脑或统帅：它的定义域即自变量X的取值范围是全体实数，即n∈R；它的解析式f(x)即是二次三项式ax2+bx+c(a≠0)；若y=0，即ax2+bx+c=0（a≠0），就是初中重点研究的一元二次方程；若y>0或y<0，即ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0（a≠0），就是高中一年级重点研究的一元二次不等式，它总揽全局，是“四个二次型”的灵魂。讨论零值的一元二次函数即一元二次方程是研究“四个二次型”的关键所在，它直接影响着两大主干：一元二次方程和一元二次不等式的求解。一元二次方程的根可看作二次函数的零点；一元二次不等式的解集可看作二次函数的正、负值区间。心脏、头脑、关键、主干、一句话，“四个二次型”联系密切，把握它们的相互联系、相互转化、相互利用，便于寻求规律，灵活运用，使学习事半功倍。 二、二次函数的解析式 上面提到，“四个二次型”的心脏是二次三项式：二次函数是通过其解析式来定义的（要特别注意二次项系数a≠0）；二次函数的性质是通过其解析式来研究的。因此，掌握二次函数首先要会求解析式，进而才能用解析式去解决更多的问题。 Y=ax2+bx+c(a≠0)中有三个字母系数a、b、c，确定二次函数的解析式就是确定字母a、b、c的取值。三个未知数的确定需要3个独立的条件，其方法是待定系数法，依靠的是方程思想及解方程组。 二次函数有四种待定形式： 1．标准式（定义式）：f(x)=ax2+bx+c.(a≠0) 2．顶点式： f(x)=a(x-h)2+k .(a≠0) 3．两根式（零点式）：f(x)=a(x-x1)(x-x2). (a≠0) 4．三点式：（见罗增儒《高中数学竞赛辅导》） 过三点A（x1,f (x1)）、B（x2,f (x2)）、C（x3,f (x3)）的二次函数可设为 f (x)=a1(x-x2)(x-x3)+a2(x-x1)(x-x3)+a3(x-x1)(x-x2)把ABC坐标依次代入，即令x=x1,x2,x3,得 f (x1)=a1(x1-x2)(x1-x3)， f (x2)=a2(x2-x1)(x2-x3)， f (x3)=a3(x3-x1)(x3-x2) 解之，得：a1=f (x1)/ (x1-x2)(x1-x3)，a2=f (x2)/ (x2-x1)(x2-x3)，a3=f (x3)/ (x3-x1)(x3-x2) 从而得二次函数的三点式为：f(x)=[f(x1)/(x1-x2)](x1-x3)(x-x2)(x-x3)+[f(x2)/ (x2-x1)(x2-x3)](x-x1)(x-x3)+[f(x3)/(x3-x1)(x3-x2)](x-x1)(x-x2)根据题目所给的不同条件，灵活地选用上述四种形式求解二次函数解析式，将会得心应手。

、选择题

（1）若x∈R，下列不等式中解法正确的是 （ ）

（A）x2＞2x＞±

（B）（x-1）2＜21-＜x＜1+

（C）ax+b＜0x＜-

（D）＜1-2xx2-1＜(1-2x)23x2-4x+2＞0

∵△=16-24＜0 ∴无解.

(2)下列各对不等式中同解的是 ( )

(A)(2a+7)x＞a+3与x＞

(B)lg(x-a)2＜0与(x-a)2＜1

(C)＜1与≤1

(D)(x-a)(x-b)＞0与＞0

(3)不等式4x＞的解集是 ( )

(A){x|x＜-或x＞} (B){x|x＞-且x≠}

(C){x|-＜x＜0或x＞} (D){x|-＜x＜}

(4)不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|-＜x＜},则a+b的值为 ( )

(A)10 (B)-10 (C)14 (D)-14

(5)不等式(x-1)≥0的解集是 ( )

(A){x|x＞1} (B){x|x≥1}

(C){x|x≥1或x-2} (D){x|x＜-2或x≥2

(6)不等式≥0的解集是 ( )

(A){x|-2≤x≤2} (B){x|-≤x＜0或0＜x≤2}

(C){x|-2＜x≤0或0＞x≤2} (D){x|-≤x＜0或0＜x≤}

(7)不等式|-3|＜1的解集是 ( )

(A){x|5＜x＜16} (B){x|6＜x＜18}

(C){x|7＜x＜20 (D){x|8＜x＜22

(8)已知集合A=，B=，则A∩B用区间表示为 ( )

(A) (B)(-∞,0)∪

(C)(1,+ ∞) (D) (-∞,0)∪

(9)不等式＞4的解集是 ( )

(A){x|x＜100} (B){x|0＜x＜100}

(C){x|x＜} (D)

(10)若集合M={x|x2-5x-6＜0,N={x|lg(x+1)2＜2},全集I=R,则为 ( )

(A){x|x≤1}∪{x|6≤x＜9} (B){x|-1＜x＜6}

(C){x|-11＜x≤-1或6≤x＜9} (D){x|-11＜x＜9}

(11)不等式log(3x2+2x-1) ＜1的解集是 ( )

(A){x|-2＜x＜0} (B){x|0＜x＜1或-2＜x＜-1}

(C){x|-2＜x＜-1 (D){x|-2＜x＜-1或＜x＜1

(12)不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4＜0,对任意实数x恒成立,则a的取值范围是 ( )

(A)(-2,2) (B)(-2,2]

(C)(-∞,-2)∪(2,+∞) (D)(-∞,-2)∪[2,+∞)

(13)如果loga＜1,则a的取值范围是 ( )

(A) (B)

(C) (D)∪(1,+∞)

(14)不等式＜2对一切实数x都成立,则a的取值范围是 ( )

(A)a＞ (B)a＜

(C) 0＜a＜ (D) ＜a＜1

(15)若关于x的方程x2-x-(m+1)=0在[-1,1]上有解,则m的取值范围是 ( )

(A)m≥- (B)-≤m≤-1

(C)-≤m≤1 (D)m≤1

二、填空题

(1)不等式≥1的解集是__________.

(2)不等式(x2-4x-5)(x2-4)≤0的解集是__________.

(3)使不等式＞x+1成立的x的取值范围是_______.

(4)不等式|2x2-5|＞3x的解集是________.

(5)不等式lg＜0的解集是__________.

(6)不等式5≥0.2的解集是________.

三、解答题

(1)解不等式≥x.

（2）解不等式log3x+logx27＜4.

(3)解不等式|-2x|≥1.

(4)已知:a＞0,a≠1,解不等式

loga(4+3x-x2)-loga(2x-1)＞loga2.

(5)若(a-2)x2+1≤(a-2)x对任意实数x都成立,求a的取值范围.

(6)如果偶函数f(x)在x∈[0,+∞)上是增函数,且f(log427·log272)=0,求不等式f(logax)＞0 (a＞0且a≠1)的解集.

例1.求函数的解析式

(1) f9[（x 1)= , 求f (x); 答案：f (x)=x2－x＋1（x≠1）

练习1：已知f( 1)= x 2 ,求f(x) 答案：f (x)=x2－1(x≥1)

(2) f (x) = 3x2 1, g (x) = 2x －1 , 求f[g(x)];答案：f[g(x)]＝12x2－12x＋4

练习2：已知：g(x)=x 1,f[g (x)]=2x2 1,求f(x-1) 答案：f(x-1)=2x2-8x 9

(3)如果函数f (x)满足af (x) f()=ax,x∈R且x≠0,a为常数，且a≠±1,求f (x)的表达式。答案：f (x)= (x∈R且x≠0)

练习3： 2f (x) － f (－x) = lg (x 1), 求 f (x).

答案：f(x)= lg(x 1) lg(1－x) (－1<x<1)

例2.已知f (x)是一次函数，并且满足3f (x 1) - 2f (x-1)＝2x 17,求f (x).

答案：f (x)=2x 7.

练习4：已知f (x)是二次函数，满足f(0)=1且f (x 1) - f (x)＝2x,求f (x)

答案：f (x) = x2- x 1

例3.设f(x)是R上的函数,且满足f(0)=1，并且对任意实数x,y

有f(x-y)=f(x)-y(2x-y 1)，求f(x) 答案：f (x) =x2 x 1

练习5：函数f(x)对任何x∈R恒有f(xx)=f(x1) f(x2),已知f(8)=3,则f()=

例4.已知函数y=f(x)的图像如图所示，求f(x)

练习6：已知函数f(x)的图像是由两条射线和开口向下的抛物线组成，

求f(x)解析式

例5.已知定义在R上的函数y=f(x)关于直线x=2对称并且x∈[0,2]上的解析式为y=2x-1,则f(x)在x∈[2,4]上的解析式为 y=7-2x

练习7：设函数y=f(x)关于直线x=1对称，若当x≤1时，y=x2 1,

则当x>1 时，f(x)= x2-4x 5

课堂小结：求函数的解析式的方法较多，应根椐题意灵活选择，但不论是哪种方法都应注意自变量的取值范围，对于实际问题材，同样需注意这一点，应保证各种有关量均有意义。

布置作业：

1、若g(x)=1-2x , f[g(x)] = (x≠0),求f()的值。

2、已知f(x - )=x , 求f(x-1)的表达式.

3、已知f(x)=9x 1,g(x)=x,则满足f[g(x)]= g[f(x)] 的x的值为多少？

4、已知f(x)为一次函数且f[f(x)] = 9x 4,求f(x).

回答者：542839777 - 初入江湖 三级 8-2 16:13

分数好少

回答者：tm19880202 - 助理 二级 8-3 21:14

历届高考中的“不等式”试题汇编大全

一、选择题：

6.（2006江西理）若a0，b0，则不等式－ba等价于（ ）

A．x0或0x B.－x C.x-或x D.x或x

8．（2006陕西文）设x、y为正数，则有(x+y)()的最小值为

A．15 B．12 C．9 D．6

9.（2006陕西理）已知不等式(x+y)( + )≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为( )

A.2 B.4 C.6 D.8

10．（2006上海理）若关于的不等式≤＋4的解集是M，则对任意实常数，总有[答]（ ）

（A）2∈M，0∈M； （B）2M，0M； （C）2∈M，0M； （D）2M，0∈M．

12.（2006重庆理）若a,b,c＞0且a(a+b+c)+bc=4-2,则2a+b+c的最小值为

（A）-1 (B) +1

(C) 2+2 (D) 2-2

4、（2005湖南理）集合A＝｛x|＜0｝，B＝｛x||x-b|＜a｝，若“a＝1”是“A∩B≠Φ”的充分条件，则b的取值范围是（ ）

A、－2≤b＜0 B、0＜b≤2 C、－3＜b＜－1 D、－1≤b＜2

5．（2005湖南文）设集合A＝｛x|＜0，B＝｛x || x －1|＜a，若“a＝1”是“A∩B≠”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

10．（2005全国卷Ⅱ理科）已知集合M={x∣-3x -28 ≤0},N = {x|-x-6>0}，则M∩N 为（ ）

（A）{x|- 4≤x< -2或3<x≤7} （B）{x|- 4<x≤ -2或 3≤x<7 }

（C）{x|x≤ - 2或 x> 3 } （D）{x|x<- 2或x≥3}

11．（2005北京理科）设全集U=R，集合M={x| x>1，P={x| x2>1}，则下列关系中正确的是

A．M=P B．P M C．M P（ D）

12.（2005北京文科）设全集U=R，集合M={x| x>1，P={x| x2>1}，则下列关系中正确的是

A．M=P B．P M C．M P（ D）

（2004年）

1.（2004安徽春招文、理）不等式|2x2－1|≤1的解集为

A.{x|－1≤x≤1} B.{x|－2≤x≤2} C.{x|0≤x≤2} D.{x|－2≤x≤0}

2.（2004北京春招理） 已知三个不等式：（其中a，b，c，d均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

6.（2004湖北理科）设集合P={m|-1<m<0}, Q={m∈R|mx2+4mx-4<0对任意实数恒成立}，

则下列关系中成立的是（ ）

(A ) P Q (B) Q P (C)P=Q (D)P∩Q=

13．（2004全国卷Ⅱ文、理）已知集合M＝{x|x2＜4，N＝{x|x2－2x－3＜0，则集合M∩N＝

（A）{x|x＜－2 （B）{x|x＞3} （C）{x|－1＜x＜2 （D）{x|2＜x＜3

5．（2003天津文）不等式的解集是（ ）

A．（0，2） B．（2，+∞）

C．（2，4） D．（－∞，0）∪（2，+∞）

8. (2002广东、江苏、河南、全国文理、天津文理)不等式(1＋x)(1－|x|)＞0的解集是

A.{x|0≤x＜1} B.{x|x＜0且x≠－1}

C.{x|－1＜x＜1} D.{x|x＜1且x≠－1}9. (2002年广东、江苏、河南，全国文)已知0＜x＜y＜a＜1，则有

A.loga(xy)＜0 B.0＜loga(xy)＜1

C.1＜loga(xy)＜2 D.loga(xy)＞210 ?

二.填空题:

.

2．（2006上海理）三个同学对问题“关于的不等式＋25＋|－5|≥在[1，12]上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路．

甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．

乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．

丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”．

参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是 ．

。.

= .

7.（2004江苏）二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表：

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6

则不等式ax2+bx+c>0的解集是_______________________.

8．（2004全国1卷理）不等式|x+2|≥|x|的解集是 .

9．（2004全国1卷文）不等式x+x3≥0的解集是 . .

三、解答题：

2.（2005北京理）设f(x)是定义在[0, 1]上的函数，若存在x*∈(0，1)，使得f(x)在[0, x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减，则称f(x)为[0, 1]上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间． 对任意的[0，l]上的单峰函数f(x)，下面研究缩短其含峰区间长度的方法．

（I）证明：对任意的x1，x2∈(0，1)，x1＜x2，若f(x1)≥f(x2)，则(0，x2)为含峰区间；若f(x1)≤f(x2)，则(x*，1)为含峰区间；

（II）对给定的r（0＜r＜0.5），证明：存在x1，x2∈(0，1)，满足x2－x1≥2r，使得由（I）所确定的含峰区间的长度不大于 0.5＋r；

（III）选取x1，x2∈(0, 1)，x1＜x2，由（I）可确定含峰区间为(0，x2)或(x1，1)，在所得的含峰区间内选取x3，由x3与x1或x3与x2类似地可确定一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为(0，x2)的情况下，试确定x1，x2，x3的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.

（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）

3．（2005湖北理）已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足

（Ⅰ）证明

（Ⅱ）猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；

（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当时，对任意b>0，都有

4．（2005江西理、文）

已知函数（a，b为常数）且方程f(x)－x+12=0有两个实根为x1=3, x2=4.

（1）求函数f(x)的解析式；

（2）设k>1，解关于x的不等式；

8.（2005天津文、理）某人在一山坡P处观看对面山项上的一座铁塔，如图所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），图中所示的山坡可视为直线l且点P在直线l上，与水平地面的夹角为a ,tana=1/2试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC最大（不计此人的身高）

11．（2005浙江理）已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＝2x．

(Ⅰ)求函数g(x)的解析式；

(Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|．

（2004年）

1.（2004安徽春招理）解关于x的不等式：loga3x＜3logax(a＞0且a≠1)

5.（2004福建理）已知f(x)=(x∈R)在区间[-1，1]上是增函数。

（Ⅰ）求实数a的值组成的集合A；

（Ⅱ）设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由。

6．（2004福建文）已知f(x)=在区间[－1，1]上是增函数.

（Ⅰ）求实数a的值组成的集合A；

（Ⅱ）设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.

11.(2004全国2卷文)若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4) 内为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a的取值范围。

12.（2004全国Ⅲ卷文、理）某村计划建造一个室内面积为800的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左．右两侧与后侧内墙各保留1宽的通道，沿前侧内墙保留3宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少？

13、(2004上海文、理)

某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm2. 问x、y分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?

15.（2004北京文、理） 某段城铁线路上依次有A、B、C三站，AB=5km，BC=3km，在列车运行时刻表上，规定列车8时整从A站发车，8时07分到达B站并停车1分钟，8时12分到达C站，在实际运行中，假设列车从A站正点发车，在B站停留1分钟，并在行驶时以同一速度匀速行驶，列车从A站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差。

（I）分别写出列车在B、C两站的运行误差

（II）若要求列车在B，C两站的运行误差之和不超过2分钟，求的取值范围

16.（2004北京文、理）

给定有限个正数满足条件T：每个数都不大于50且总和L＝1275。现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于150且分组的步骤是：

首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得150与这组数之和的差与所有可能的其他选择相比是最小的，称为第一组余差；

然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时的余差为；如此继续构成第三组（余差为）、第四组（余差为）、……，直至第N组（余差为）把这些数全部分完为止。

（I）判断的大小关系，并指出除第N组外的每组至少含有几个数

6．（2003全国理，广东）

已知c>0，设P：函数在R上单调递减Q：不等式x+|x-2c|>1的解集为R.如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围

7．（2003全国文、理，广东）

在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

都是我经过筛选的过去的高考题，希望能令你满意