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2016高考数学试题_2016高考数学应用题
tamoadmin 2024-06-16 人已围观
简介1.现在高考还有没有应用题2.M个数任选N个数（N
1.现在高考还有没有应用题
2.M个数任选N个数（N 3.高考数学里的排列与组合问题怎么解决 1、一桶汽油倒出20%，正好是24千克，这桶汽油重多少千克？（列方程解答）2、某服装厂2月份生产运动服4500套，比1月份少10%，1月份生产运动服多少套？3、10公顷小麦田，平均每公顷收小麦4.8吨，按85%的出粉率计算，这些小麦可磨面粉多少吨？4、明明的房间四壁要粉刷一新，房间长4米，宽3米，高3米。除去门窗面积4.7平方米，每平方米用涂料0.6升，立邦梦幻千色外墙亚光漆4.5升一桶，每桶286元，粉刷明明房间大约要用多少元？5、某班有学生49人，其中男生有24人，男生占全班人数的几分之几？女生占全班人数的几分之几？6、一根长30米的钢管锯成三段。第一段长7米，比第二段短2.5米，第三段长多少米？7、有一个游泳池，长25米，宽12米、深1.4米，池底和四周贴上边长为2分米的正方形白瓷砖，一共要用多少块？8、一个工程队修筑一条15.8千米长的公路，第一周修了5千米，第二周比第一周多修0.7千米，还要修多少千米才能修完？9、长方体蓄水池中有水2100立方米，这个蓄水池长50米，宽20米，水深多少米？10、学校运来7.6立方米沙土，把这些沙土铺在一个长5米，宽3.8米的沙坑里，可以铺多厚？11、一个水利工程队，前4天平均每天修水渠125米，后3天平均每天修134米。这个工程队平均每天修水渠多少米？12、做10个棱长8厘米的正方体铁框架，至少需多长的铁丝？13、用铁皮做一个铁盒，使它的长、宽、高分别是1.8分米，1.5分米和1.2分米，做一个这样的铁盒至少要用铁皮多少平方米？14、做一个没盖的正方体玻璃鱼缸，棱长是3分米，至少需要玻璃多少平方米？15、我们学校要粉刷教室，教室长8米，宽7米，高3.5米，扣除门窗、黑板的面积13.8平方米，已知每平方米需要5元涂料费。粉刷一个教室需要多少钱？16、一个商品盒是棱长为6厘米的正方体，在这个盒的四周贴上商标，贴商标的面积最大是多少平方厘米？17、用木板做长、宽、高分别是2.8分米，1.5分米和2.2分米抽屉，做5个这样的抽屉至少要用木板多少平方米？18、有一个养鱼池长18米，宽12米，深3.5米，要在养鱼池各个面上抹一层水泥，防止渗水，如果每平方米用水泥5千克，一共需要水泥多少千克？19、加工厂要加工一批电视机机套，（没有底面）每台电视机的长60厘米，宽50厘米、高55厘米，做1000个机套至少用布多少平方米？20、做24节长方体的铁皮烟囱，每节长2米，宽4分米，高3分米，至少用多少平方米的铁皮？21、一个长方体的金鱼缸，长是8分米，宽是5分米，高是6分米，不小心前面的玻璃被打坏了，修理时配上的玻璃的面积是多少平方分米？22、一个长方体的长是4分米，宽是2.5分米，高是3分米，求它的体积是多少立方分米？23、一个长方体沙坑，长4米，宽2米，深0.5米，如果每立方米黄沙重1.4吨，这黄沙重多少吨？24、有一种长方体钢材，长2米，横截面是边长为5厘米的正方形，每立方分米钢重7.8千克，这根方钢材重多少千克？25、一个长方体，底面积是30平方分米，高3米，它的体积是多少立方分米？26、一张写字台，长1.3m宽0.6m、高0.8m有20张这样的写字台要占多大空间?27、一个棱长是5分米的正方体鱼缸，里面装满水，把水倒入一个底面积48平方分米，高6分米的的长方体鱼缸里，鱼缸里水有多深？28、一个棱长8分米的正方体水槽里装了490升水，把这些水倒入一个长10分米，宽7分米，高8分米的长方体水槽里，水槽里的水深是多少？29、把一块棱长8厘米的正方体钢坯，锻造成长16厘米，宽5厘米的长方体钢板，这钢板有多厚？（损耗不计）30、一个长方体油桶，底面积是18平方分米，它可装43.2千克油，如果每升油重0.8千克，油桶内油高是多少？31、一个长方形铁皮长30cm,宽25cm，从四个角各切掉一个长为5cm的正方形，然后做成一个无盖的盒子，这个盒子用了多少铁皮？它的容积是多少？32、把一块长26dm的长方形木板，在四个角上分别剪去边长为3dm的正方形，将它制成容积为840立方分米的长方体无盖容器，这块木板原来的宽是多少？33、一个长方体游泳池长60米，宽30米，深2米，游泳池占地多少平方米？沿游泳池的内壁1.5米处用红漆划一条水位线，这条线的长度是多少？现在游泳池内的水正好到达水位线，求池内水的体积？34、一个长方体玻璃缸，从里面量长40厘米，宽25厘米，水深12厘米，把一块石头浸入水中后，水面上升到16厘米，求石块的体积？35、80根方木，垛成一个长2米，宽2米，高1.5米的长方体，平均每根方木的体积是多少立方米？合多少立方分米？36、3个棱长都8厘米的正方体，拼成一个长方体，它的体积和表面积各是多少？37、家具厂订购500根方木，每根方木横截面面积是25平方分米，长是3.8米，这些木料的体积是多少立方米？38、把两块棱长为1.5分米的正方体木块拼成一个长方体，这个长方体的体积和表面积各是多少？39、一个长方体表面积是156平方分米，底面积是30平方分米，底面周长是32分米，长方体的体积是多少？40、把长8厘米，宽12厘米，高5厘米长方体木块锯成棱长2厘米的正方体木块，可锯多少块？41、一个底面是正方形的长方体木料，长是5米，把它截成4段，表面积增加36平方米，求长方体的体积？42、五年级有男生23人，女生25人，女生占男生的几分之几？男、女生各占全班人数的几分之几？43、把3吨大米平均分成5份，每份是多少吨？每份是大米总数的几分之几？44、学校图书馆有连环画280本，文艺书140本，连环画的本数是文艺书的几倍？文艺书是连环画的几分之几？45、胜利小学五年级3班体育达标人数是24人，没达标人数是12人，达标人数占全班人数的几分之几？46、王师傅6小时加工零件34个，李师傅7小时加工零件40个．谁的工作效率高？47、一本书185页，看了95页，看了的占这本书的几分之几？没看的页数占这本书的几分之几？48、一个长方体蓄水池，长8m，宽5m，深3m，这个蓄水池占地面积是多少？它最多可容水多少立方米？49、.小明的爸爸用玻璃做了一个棱长是6dm正方体鱼缸。制作这个鱼缸时，至少需要玻璃多少平方米？小明在鱼缸里注入144L的水，水面高度是多少分米？50、机床厂去年四个季度分别完成全年任务的1/6、1/5、4/15、7/10，去年超额完成全年计划的几分之几？51、工地运来一批钢材，其中圆形钢材2吨，方形钢材2/5吨，其它钢材1/7吨，这批钢材共有多少吨？52、找一找一个两位数，交换十位与个位上的数，所得的两位数仍是质数，写出两个这样的两位数。53、走进生活五年级五班学生进行队列表演，每行12人或16人都正好整行，已知这个班的学生不到50人，你能算出这个班有多少人吗1、在中原路上铺一条地下电缆，已经铺了34，还剩下250米没有铺。这条电缆全长多少米2、修一段路，第一天修了全长的1/4，第二天修了90米，这时还剩下150米没有修。这段路全长多少米？3、建筑工地有一堆黄沙，用去了23，正好用去了60吨。这堆黄沙原来有多少吨？4、声音在空气中3秒钟大约传1千米，光的速度每秒大约300000千米，声音的速度大约是光速的几分之几？5、一块小麦试验田，原计划每公顷产小麦8吨，实际每公顷产小麦之几？6、职工食堂4月份计划烧煤5吨，实际烧煤4.8吨。节约了百分之几？7、用5000千克小麦可以磨出面粉4250千克，求小麦的出粉率。8、小麦的出粉率是80％，要磨出面粉640千克，需要多少千克小麦？9、六（1）班有学生50人，某天请假2人，求这天的出勤率?10、植树节那天共植树若干棵，成活了485棵，没有成活的15棵，求这次植树的成活率。11、王老师到体育用品商店买了5只小足球，付出100元，找回32.5元，每只小足球多少元？12、甲乙两辆汽车同时从相距255千米的两地相对开出，甲车每小时行52千米，乙车每小时行57千米，经过几小时后两车还相距37千米？13、师徒二人共加工208个机器零件，师傅加工的零件数比徒弟的2倍还多4个，师傅和徒弟各加工多少个零件？14、王芳的存款数是李丽存款数的2.2倍，如果李丽再存入银行75元，两人的存款数就相等了，原来两人各存款多少元？15、五年级买一批笔记本奖给三好学生，如果每人奖给5本，还剩3本；如果每人奖给6本，又少12本。五年级评出三好学生多少名？买了多少本笔记本？16、山坡上有羊80只，其中白羊是黑羊的4倍，山坡上黑羊、白羊各多少只？17、商店里卖出两筐柑橘，第一筐重26千克，第二筐重29千克，第二筐比第一筐多卖了9元钱，平均每千克柑橘多少元？(用两种方法解)18、一块梯形麦田，面积是540平方米，高18米，上底是20米，下底是多少米？19、甲乙两车从相距750千米的两地同时开出，相向而行，5小时相遇，甲车每小时行80千米，乙车每小时行多少千米？20、两辆汽车同时从同地开出，行驶4.5小时后，甲车落在乙车的后面13.5千米，已知甲车每小时行35千米，乙车每小时行多少千米？21、同学们去春游，车上已经坐了45人；还有4个小组在等下一辆车，每组9人。去春游的一共有多少人？22、一共有150人去春游，已经走了54人，剩下的坐两辆车去，平均每辆车要坐多少人？23、舞蹈队里有18名男生，女生人数是男生的2倍，舞蹈队里男、女生一共有多少人？24、同学们做花，小军做了63朵，小红做的花比小军少做18朵，两人一共做了多少朵花？25、食堂里第一次买来白菜25千克，第二次买来白菜175千克，按每千克白菜6角钱计算，食堂里买白菜一共用去多少钱？26、小华给小刚看一本书，小华4天看了132页，小刚3天看96页，谁看得快？为什么？27、妈妈给小明买了3件汗衫，每件汗衫23元，付给营业员100元，还应找回多少元？28、体育用品商店原来有72只篮球，卖出60只，又购进45只，现在有多少只篮球？29、同学们去天文台参观，女生有9人，男生去的人数是女生的3倍，一辆40座的汽车够坐么？30、学校活动室里有24盒象棋，军旗的盒数是象棋的两倍，跳棋有12盒，跳棋比军旗少多少盒？31.学校买来白粉笔80盒，红粉笔20盒，用了60盒，还剩多少盒？32.老师有8袋乒乓球，每袋6个，借给同学15个，还剩多少个?33.老师拿70元去买书，买了7套故事书，每套9元，还剩多少元?34.制衣组有90米布，用了63米，剩下的布做了9套衣服．平均每套衣服用布多少米?35.食品店有80包方便面，上午卖了26包，下午卖了34包，还剩多少包?(用两种方法解答)42回答者：敏集册-三级2010-7-2718:49我来评论>>提问者对于答案的评价：谢谢相关内容?急需小学五年级数学应用题~~~92005-10-9?急需5道人教版小学五年级数学应用题2008-3-3?小学五年级数学应用题.急需52008-5-6?五年级数学题：应用题。（急需）52008-3-14?怎么学小学五年级的数学(上册-应用题),急需!392006-11-30相关问题>>查看同主题问题：数学应用题五年级等待您来回答北师大版八年级数学上册第一二三章复习题关于暑假作业的问题（五年级，绿色的）我是高考班艺术生.我想考美院。给我提下建议小学什么时候开学啊玉海园周边有什么小学语文暑假作业五年级下册高考考试说明是一年一换吗数学应用题其他回答共3条检举1.、12颗糖，平均分给3个人，每人分得几颗？2、12颗糖，平均分给3个人，每人分得这些糖的几分之几？3、5个苹果平均分给8个人，每人分得几个？每人分得这些苹果的几分之几？4、五年级有男生23人，女生25人，女生占男生的几分之几？男、女生各占全班人数的几分之几？6、把3吨大米平均分成5份，每份是多少吨？每份是大米总数的几分之几？7、学校图书馆有连环画280本，文艺书140本，连环画的本数是文艺书的几倍？文艺书是连环画的几分之几？8、胜利小学五年级3班体育达标人数是24人，没达标人数是12人，达标人数占全班人数的几分之几？9．王师傅6小时加工零件34个，李师付7小时加工零件40个．谁的工作效率高？10．一本书185页，看了95页，看了的占这本书的几分之几？没看的页数占这本书的几分之几？11．动物园里有梅花鹿25头，长颈鹿5头，梅花鹿的数量是长颈鹿的多少倍？长颈鹿的数量是梅花鹿的几分之几？12、有一根木头，第一次截去2/5米，第二次截去7/10米，剩下4/15米，这根木头有多长？12、果园里栽了一些果树，其中荔枝树占总数的12/27，龙眼树占总数的12/25，其余的是杨梅树，杨梅树占总数的几分之几？13、妈妈买回600克油，第一天用了1/3，第二天用了1/4，剩下多少油？，1、学校图书室买480本新书，其中3\4是文艺书，文艺书有多少本？2、学校图书室买480本新书，其中3\4是文艺书，文艺书中2\9是故事书，故事书有多少本？3、果园里有梨树321棵有苹果树400棵，这两种果树相当于果园所有果树的7\8.果园里有多少棵树？4、爸爸买了一个大西瓜，妈妈吃了2／8，豆豆吃了1/8，他们一共吃了几分之几？5、三（1）班和三（2）班给学校里所有小树浇水，三（1）班浇了3/9，三（2）班浇了几分之几？6、一包瓜子重1/4千克，比一包糖轻2/4千克，一包瓜子和一包糖共有多重？7、甲、乙两个圆柱体容器，底面积之比为4：3。甲容器水深比乙容器水深多4厘米，再往两个容器注入同样多的水，恰好两个容器中的水深都是25厘米。原来甲容器中的水深多少厘米?8、参加植树的同学共有720人，已知六年级与五年级人数的比是3：2，六年级比四年级多80人，三个年级参加植树的各有多少人?9、甲、乙两个圆柱体容器，底面积之比为4：3。甲容器水深比乙容器水深多4厘米，再往两个容器注入同样多的水，恰好两个容器中的水深都是25厘米。原来甲容器中的水深多少厘米?10、第一车间有四个生产小组，第一、二两个小组共19人，第二、三、四小组共35人，已知第二小组人数占四个生产小组总人数的。第一车间共有多少人？11、学校兴趣班分两个组，从甲组调3分之一到乙组后，又从乙组凋5分之一的人数到甲组，这时两组都是24人，原来甲乙两组各有多少人？12、某班男生人数的4/5加上女生人数正好是49人；女生人数的4/5加上男生人数则是50人。这个班有学生多少人？13、一台织布机2分钟织布二分之一米，平均每分钟织布多少米？14、学校图书馆有36人在看书，女生占男生的4/5，后来又来了一些女生，现在女生人数是全部人数的3/4，求后来来了多少个女生？15、甲乙共有钱2000元，甲把它的一半给乙，然后乙把它的1/3再给甲，之后甲把它的1/4给乙，这时乙比甲多650元，问最初两人各有多少元？16、某工厂共有工人1300人，如果调走男工的1/8，又招女工500人，这是男工与女工人数相等。问：这个工厂原有男工多少人17、某厂共有职工120人，你其中女职工占全厂的1/5，后来这个厂又从下岗女工中招收了一些人，这时女职工人数占全厂的1/4这个厂现有职工多少人？新招收的职工多少人？回答者：↑浅步调℃-七级2010-7-2717:56检举1、一个无盖的正方体玻璃鱼缸，棱长4分米，制作这个鱼缸至少要用多少平方分米玻璃?2、一根长方体木料，长2.5米，宽和高都是1.8米，每立方米木料重420千克，这根木料共重多少千克?3、一种无盖的正方体木箱，棱长25厘米，做30个这样的木箱至少需要多少平方分米的木板?4、游泳池长25米，宽10米，池深2米，在池的四壁和池底贴上面积15平方分米的方砖，共需要多少块?5、用一只棱长6厘米的正方体容器盛满水后，倒人一只长12厘米，宽6厘米，高5厘米的长方体水箱里，水面高多少厘米?6、一根长方体钢材长4米，横截面是边长8厘米的正方形，每立方厘米的钢重7.8克，这根钢材重多少千克?7、有5块正方体石料，棱长60厘米，如果每立方厘米的石料重2．8克，这些石料共重多少克?合多少吨?8、一种装啤酒的硬纸箱，长40厘米，宽30厘米，高25厘米。已知这种硬纸箱可装12瓶啤酒，每瓶啤酒占多少立方厘米的空间?1、用一根72厘米长的铁丝做一个长方体框架，长8厘米，宽6厘米，高是多少厘米?2、用10块规格相同的木板堆成一个体积42立方米的长方体。已知每块木板的长7米，宽3米，木板的厚是多少米?3、一块棱长0.8米的正方体钢材，锻造成横截面是边长2分米的长方体零件。这个零件的长是多少米?4、一只长方体油桶，从里面量长5分米，宽2.4分米，能装汽油38.4升，这个油桶的深是多少分米?1、小敏房间的地面是长方形。长5米、宽3米，铺设了2厘米厚的木地板，至少需要木材多少立方米？2、一辆运煤车从里面量长2.5米、宽1.8米，装的煤高0.6米，平均每立方米煤重1.5吨，这辆车装的煤有多少吨？3、一种无盖的长方体形铁皮水桶，底面是边长4分米的正方形，高1米。做一只这样的水桶至少要多少铁皮？这只水桶能装水多少升？4、体育场用37.5立方米的煤渣铺在一条长100米、宽7.5米的直跑道上。煤渣可以铺多厚？5、一个长方体形状的儿童游泳池，长40米、宽14米，深1.2米。现在要在四壁和池底贴上面积为16平方分米的正方形瓷砖，需要多少块？6、一个长方体的容器，底面积是16平方分米，装的水高6分米，现放入一个体积是24立方分米的铁块。这时的水面高多少？7、用2100个棱长是1厘米的正方体堆成一个长方体，它的高是10厘米，长和宽都大于高。它的底面周长是多少？8、一块长方形铁皮，长32厘米，在它四个顶角分别剪去边长4厘米的正方形，然后折起来焊成一个无盖的长方体铁皮盒。已知这个铁皮盒的容积是768立方厘米。原来这块铁皮的面积是多少？ 参考资料：
现在高考还有没有应用题
右不等号：λ＋1／λ＋2<16/3解得1/3<λ<3
左不等号：4<λ＋1／λ＋2解得λ不等于1
综上:1/3<λ<1
然后“FG=λFH,点G在点F ,H 之间”易得：0<λ<1 （0</FG/</FH/模长）
注意充分利用条件，抓住题干中的每一句话（尤其是圆锥曲线和应用题）！！！
M个数任选N个数（N<M）这样的公式是什么
有
数学高考是有应用题的。应用题是高考数学中的重点之一，几乎每个省市，每年的高考试卷都有应用题出现，因此，总结高考数学应用题的常见类型，分析其解题模式，对学生有针对性地备战高考具有十分重要的意义。
解答函数、不等式类应用题的关键和切入点是准确建立函数模型，首先要明确实际问题的取值范围，认真分析题目中的重点词汇及数量关系，对题干中给出的已知量、未知量及常量进行归类有梳理，从而建立函数或不等式模式，进而解答试题。
概率型应用题数量在高考数学试卷中所占比例最大，但难度不大，主要考查学生对概率相关概念的掌握程度及公式的运用技巧。基本思路是在认真阅读题干的基础上分析出试题所考查的是何种变量或事件，然后运用此种变量或事件的公式去解答即可。
数列型应用题是应用题中最难的一类，尤其是与不等式问题结合之后。所考查的数列基本知识有初始项的提取、通项公式的求取、递推公式及前n项的和与某一项的关系等。
所依托的实际问题涉及金融、平均增长率、等量增减等多个方面。解答此类问题的关键是确定数列的类型，在此基础上根据题意构建数列的通项公式或递推公式，然后利用选定系数法或递推关系求解。
解答几何型应用题的关键是抽取数学模型，若没有示意图的应首先根据题意画出示意图，然后运用三角函数等相关知识解答即可。
高考数学里的排列与组合问题怎么解决
你要找的是排列组合公式吧？找到了，还有例题，慢慢看，别心急。
1．加法原理和乘法原理
两个原理是理解排列与组合的概念，推导排列数及组合数公式，分析和解决排列与组合的应用问题的基本原则和依据；完成一件事共有多少种不同方法，这是两个原理所要回答的共同问题。而两者的区别在于完成一件事可分几类办法和需要分几个步骤。
例1．书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书。
（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？
（2）若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？
（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法。
解：（1）由于从书架上任取一本书，就可以完成这件事，故应分类，由于有3种书，则分为3类然后依据加法原理，得到的取法种数是：3+5+6=14种。
（2）由于从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成3个步骤完成，据乘法原理，得到不同的取法种数是：3×5×6=90（种）。
（3）由于从书架上任取不同科目的书两本，可以有3类情况（数语各1本，数英各1本，语英各1本）而在每一类情况中又需分2个步骤才能完成。故应依据加法与乘法两个原理计算出共得到的不同的取法种数是：3×5+3×6+5×6=63（种）。
例2．已知两个集合A={1，2，3}，B={a,b,c,d，e}，从A到B建立映射，问可建立多少个不同的映射？
分析：首先应明确本题中的“这件事是指映射，何谓映射？即对A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应。”
因A中有3个元素，则必须将这3个元素都在B中找到家，这件事才完成。因此，应分3个步骤，当这三个步骤全进行完，一个映射就被建立了，据乘法原理，共可建立不同的映射数目为：5×5×5=53（种）。
2．排列数与组合数的两个公式
排列数与组合数公式各有两种形式，一是连乘积的形式，这种形式主要用于计算；二是阶乘的形式，这种形式主要用于化简与证明。
连乘积的形式 阶乘形式
Anm=n(n-1)(n-2)……(n-m+1) =
Cnm=
例3．求证：Anm+mAnm-1=An+1m
证明：左边=
∴ 等式成立。
评述：这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质：n!(n+1)=(n+1)!可使变形过程得以简化。
例4．解方程.
解：原方程可化为：
解得x=3。
评述：解由排列数与组合数形式给出的方程时，在脱掉排列数与组合数的符号时，要注意把排列数与组合数定义中的取出元素与被取元素之间的关系以及它们都属自然数的这重要限定写在脱掉符号之前。
3．排列与组合的应用题
历届高考数学试题中，排列与组合部分的试题主要是应用问题。一般都附有某些限制条件；或是限定元素的选择，或是限定元素的位置，这些应用问题的内容和情景是多种多样的，而解决它们的方法还是有规律可循的。常用的方法有：一般方法和特殊方法两种。
一般方法有：直接法和间接法。
（1）在直接法中又分为两类，若问题可分为互斥各类，据加法原理，可用分类法；若问题考虑先后次序，据乘法原理，可用占位法。
（2）间接法一般用于当问题的反面简单明了，据A∪=I且A∩ = 的原理，采用排除的方法来获得问题的解决。
特殊方法：
（1）特元特位：优先考虑有特殊要求的元素或位置后，再去考虑其它元素或位置。
（2）捆绑法：某些元素必须在一起的排列，用“捆绑法”，紧密结合粘成小组，组内外分别排列。
（3）插空法：某些元素必须不在一起的分离排列用“插空法”，不需分离的站好实位，在空位上进行排列。
（4）其它方法。
例5．7人排成一行，分别求出符合下列要求的不同排法的种数。
（1）甲排中间； （2）甲不排两端；（3）甲，乙相邻；
（4）甲在乙的左边（不要求相邻）； （5）甲，乙，丙连排；
（6）甲，乙，丙两两不相邻。
解：（1）甲排中间属“特元特位”，优先安置，只有一种站法，其余6人任意排列，故共有：1×=720种不同排法。
（2）甲不排两端，亦属于“特元特位”问题，优先安置甲在中间五个位置上任何一个位置则有种，其余6人可任意排列有 种，故共有 · =3600种不同排法。
（3）甲、乙相邻，属于“捆绑法”，将甲、乙合为一个“元素”，连同其余5人共6个元素任意排列，再由甲、乙组内排列，故共有 ·=1400种不同的排法。
（4）甲在乙的左边。考虑在7人排成一行形成的所有排列 中：“甲在乙左边”与“甲在乙右边”的排法是一一对应的，在不要求相邻时，各占所有排列的一半，故甲在乙的左边的不同排法共有 =2520种。
（5）甲、乙、丙连排，亦属于某些元素必须在一起的排列，利用“捆绑法”，先将甲、乙、丙合为一个“元素”，连同其余4人共5个“元素”任意排列，现由甲、乙、丙交换位置，故共有· =720种不同排法。
（6）甲、乙、丙两两不相邻，属于某些元素必须不在一起的分离排列，用“插空法”，先将甲、乙、丙外的4人排成一行，形成左、右及每两人之间的五个“空”。再将甲、乙、丙插入其中的三个“空”，故共有·=1440种不同的排法。
例6．用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的五位数，分别求出下列各类数的个数：
（1）奇数；（2）5的倍数；（3）比20300大的数；（4）不含数字0，且1，2不相邻的数。
解：（1）奇数：要得到一个5位数的奇数，分成3步，第一步考虑个位必须是奇数，从1，3，5中选出一个数排列个位的位置上有 种；第二步考虑首位不能是0，从余下的不是0的4个数字中任选一个排在首位上有种；第三步：从余下的4个数字中任选3个排在中间的3个数的位置上，由乘法原理共有 =388（个）。
（2）5的倍数：按0作不作个位来分类
第一类：0作个位，则有=120。
第二类：0不作个位即5作个位，则 =96。
则共有这样的数为： + =216（个）。
（3）比20300大的数的五位数可分为三类：
第一类：3xxxx, 4xxxx, 5xxxx有3个；
第二类：21xxx, 23xxx, 24xxx, 25xxx, 的4个；
第三类：203xx, 204xx, 205xx, 有3个，
因此，比20300大的五位数共有：3+4 +3 =474（个）。
（4）不含数字0且1，2不相邻的数：分两步完成，第一步将3，4，5三个数字排成一行；第二步将1和2插入四个“空”中的两个位置，故共有=72个不含数字0，且1和2不相邻的五位数。
例7．直线与圆相离，直线上六点A1，A2，A3，A4，A5，A6，圆上四点B1，B2，B3，B4，任两点连成直线，问所得直线最多几条？最少几条？
解：所得直线最多时，即为任意三点都不共线可分为三类：
第一类为已知直线上与圆上各取一点连线的直线条数为=24；
第二类为圆上任取两点所得的直线条数为=6；
第三类为已知直线为1条，则直线最多的条数为N1= ++1=31（条）。
所得直线最少时，即重合的直线最多，用排除法减去重合的字数较为方便，而重合的直线即是由圆上取两点连成的直线，排除重复，便是直线最少条数：N2=N1-2=31-12=19（条）。
解排列组合问题的策略
要正确解答排列组合问题，第一要认真审题，弄清楚是排列问题还是组合问题、还是排列与组合混合问题；第二要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理，做到不重不漏；第三要计算正确。下面将通过对若干例题的分析，探讨解答排列组合问题的一些常见策略，供大家参考。
一、解含有特殊元素、特殊位置的题——采用特殊优先安排的策略
对于带有特殊元素的排列问题，一般应先考虑特殊元素、特殊位置，再考虑其他元素与其他位置，也就是解题过程中的一种主元思想。
例1 用0，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）
A．24个 B．30个 C．40个 D．60个
解：因组成的三位数为偶数，末尾的数字必须是偶数，又0不能排在首位，故0是其中的“特殊”元素，应优先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分为两类：①当0排在末尾时，有 个；②当0不排在末尾时，三位偶数有 个，据加法原理，其中偶数共有 + =30个，选B。
若含有两个或两个以上的特殊位置或特殊元素，则应使用集合的思想来考虑。这里仅举以下几例：
(1)无关型(两个特殊位置上分别可取的元素所组成的集合的交是空集)
例2 用0，1，2，3，4，5六个数字可组成多少个被10整除且数字不同的六位数?
解：由题意可知，两个特殊位置在首位和末位，特殊元素是“0，首位可取元素的集合A={1，2，3，4，5}，末位可取元素的集合B={0}，A∩B= 。如图1所示。
末位上有 种排法，首位上有 种不同排法，其余位置有 种不同排法。所以，组成的符合题意的六位数是 =120(个)。
说明：这个类型的题目，两个特殊位置上所取的元素是无关的。先分别求出两个特殊位置上的排列数(不需考虑顺序)，再求出其余位置上的排列数，最后利用乘法原理，问题即可得到解决。
(2)包合型(两个特殊位置上分别可取的元素所组成集合具有包合关系)
例3 用0，1，2，3，4，5六个数字可组成多少个被5整除且数字不同的六位奇数?
解：由题意可知，首位、末位是两个特殊位置，“0”是特殊元素，首位可取元素的集合
A={1，2，3，4，5}，末位可取元素的集合B={5}，B A，用图2表示。
末位上只能取5，有 种取法，首位上虽然有五个元素可取但元素5已经排在末位了，故只有 种不同取法，其余四个位置上有 种不同排法，所以组成的符合题意的六位数有 =96(个)。
说明：这个类型的题目，两个特殊位置上所取的元素组成的集合具有包含关系，先求被包合的集合中的元素在特殊位置上的排列数，再求另一个位置上的排列数，次求其它位置上排列数，最后利用乘法原理，问题就可解决。
(3)影响型(两个特殊位置上可取的元素既有相同的，又有不同的。这类题型在高考中比较常见。)
例4 用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大并且百位数字不是3的没有重复数字的五位数有多少个?
解：由题意可知，首位和百位是两个特殊位置，“3”是特殊元素。首位上可取元素的集合 A={2，3，4，5}，百位上可取元素的集合B={1，2，4，5}。用图3表示。
从图中可以看出，影响型可分成无关型和包含型。①首先考虑首位是3的五位数共有： 个；②再考虑首位上不是3的五位数，由于要比20000大，∴首位上应该是2、4、5中的任一个， 种选择；其次3应排在千位、十位与个位三个位置中的某一个上， 种选择，最后还有三个数、三个位置，有 种排法，于是首位上不是3的大于20000的五位数共有个 。
综上①②，知满足题设条件的五位数共有： + =78个。
二、解含有约束条件的排列组合问题一――采用合理分类与准确分步的策略
解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，按事件发生的连贯过程分步，做到分类标准明确、分步层次清楚，不重不漏。
例5 平面上4条平行直线与另外5条平行直线互相垂直，则它们构成的矩形共有________个。
简析：按构成矩形的过程可分为如下两步：第一步．先在4条平行线中任取两条，有 种取法；第二步再在5条平行线中任取两条，有 种取法。这样取出的四条直线构成一个矩形，据乘法原理，构成的矩形共有· =60个。
例6 在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是多少?
解：依题意，共线的三点组可分为三类：两端点皆为顶点的共线三点组共有 =28(个)；两端点皆为面的中心的共线三点组共有 =3(个)；两端点皆为各棱中点的共线三点组共有 =18(个)。
所以总共有28+3+18=49个。
例7 某种产品有4只次品和6只正品(每只产品均可区分)。每次取一只测试，直到4只次品全部测出为止。求第4只次品在第五次被发现的不同情形有多少种?
解：先考虑第五次测试的产品有4种情况，在前四次测试中包含其余的3只次品和1只正品，它们排列的方法数是6 。依据乘法原理得所求的不同情形有4×6 =576种。
有些排列组合问题元素多，取出的情况也有多种，对于这类问题常用的处理方法是：可按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算，最后计算总和。
例8 由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复的6位数，其中个位数字小于十位数字的共有 （ ）
A、210个 B、300个 C、464个 D、600个
分析：按题意个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，符合题的分别有 ， ， ，， 个。
合并总计，共有 + + + + =300(个)。
故选B。
说明：此题也可用定序问题缩位法求解，先考虑所有6位数： 个，因个位数字须小于个位数字，故所求6位数有( )/ =300(个)。
处理此类问题应做到不重不漏，即每两类的交集为空集，所有类的并集为合集，因此要求合理分类。
例9 已知集合A和集合B各含12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面的两个条件的集合C的个数：
(1)C A∪B，且C中含有3个元素；
(2)C∩A≠ （ 表示空集)。
分析：由题意知，属于集合B而不属于集合A元素个数为12-4=8，因此满足条件(1)、(2)的集合C可分为三类：
第一类：含A中一个元素的集C有 个；
第二类：含A中二个元素的集C有 个；
第三类：含A中三个元素的集C有 个。
故所求集C的个数是 + + =1084。
有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，分别分配到不同的位置上，对于这类问题的常用解法，是先将元素逐一分组，然后再进行全排列、但在分组时要注意是否为均匀分组。
例10 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护土，不同的分配方法共有 ( )。
A．90种 B．180种 C．270种 D．540种
分析：(一)先分组、后分配：
第一步：将3名医生分成3组，每组一人只有一种分法。
第二步：将6名护士分成3组，每组2人有：( )/ 种分法。
第三步：将医生3组及护士3组进行搭配，使每组有一名医生、2名护士，有 种搭配方法。
第四步：将所得的3组分配到3所不同的学校有 种分配法。
故共有不同的分配方法： · =540(种)。故选(D)。
分析：(二)第一步：先将6名护士分配到3所不同学校，每所学校2名，则有 (种)分法。
第二步：再将3名医生分配到3所不同的学校，每所学校1人，有 种分法。
故共有 =540(种)故选(D)。
说明：处理此类问题应注意准确分步。
三、解排列组台混合问题——采用先选后排策略
对于排列与组合的混合问题，可采取先选出元素，后进行排列的策略。
例11 4个不同小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子，则恰有一个空盒的放法有_________种。
简析：这是一个排列与组合的混合问题。因恰有一个空盒，所以必有一个盒子要放2个球，故可分两步进行：第一步选，从4个球中任选2个球，有 种选法。从4个盒子中选出3个，有 种选法；第二步排列，把选出的2个球视为一个元素，与其余的2个球共3个元素对选出的3个盒子作全排列，有 种排法。所以满足条件的放法共有 =144种。
四、正难则反、等价转化策略
对某些排列组合问题，当从正面入手情况复杂，不易解决时，可考虑从反面入手，将其等价转化为一个较简单的问题来处理。即采用先求总的排列数(或组合数)，再减去不符合要求的排列数(或组合数)，从而使问题获得解决的方法。其实它就是补集思想。
例12 马路上有编号为1、2、3、…、9的9只路灯，为节约用电，现要求把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有_______种。
简析：关掉一只灯的方法有7种，关第二只、第三只灯时要分类讨论，情况较为复杂，换一个角度，从反面入手考虑。因每一种关灯的方法唯一对应着一种满足题设条件的亮灯与暗灯的排列，于是问题转化为在6只亮灯中插入3只暗灯，且任何两只暗灯不相邻、且暗灯不在两端，即从6只亮灯所形成的5个间隙中选3个插入3只暗灯，其方法有=10种。故满足条件的关灯的方法共有10种。
例13 甲、乙两队各出7名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，……直到有一方队员全被淘汰为止，另一方获胜，形成—种比赛过程，那么所有可能出现的比赛过程共有多少种?
解：设甲队队员为a1，a2,…a7，乙队队员为b1，b2,……，b7，下标表示事先安排好的出场顺序，若以依次被淘汰的队员为顺序，比赛过程可类比为这14个字母互相穿插的一个排列，最后是胜队中获胜队员和可能未参赛的队员。如a1a2b1b2a3b3b4b5a4b6b7a5a6a7。所表示为14个位置中取7个位置安排甲队队员，其余位置安排乙队队员，故比赛过程的总数为 =3432。
例14 有2个a，3个b，4个c 共九个字母排成一排，有多少种排法?
分析：若将字母作为元素，1—9号位置作为位子，那么这是一个“不尽相异元素的全排列”问题，若转换角色，将1—9号位置作为元素，字母作为位子，那么问题便转化成一个相异元素不许重复的组合问题。
即共有 =1260(种)不同的排法。
有些问题反面的情况为数不多，容易讨论，则可用剔除法。
对有限制条件的问题，先以总体考虑，再把不符合条件的所有情况剔除。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题策略。
例15 四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有( )
A．150种 B．147种 C．14种 D．141种
分析：在这10个点中，不共面的不易寻找，而共面的容易找。因此，采用剔除法，由10个点中取出4个点的组合数( 减去4个点共面的个数即为所求)。4点共面情形可分三类：
第一类：四面体每个面中的四个点共面，共有 4× =60种；
第二类：四面体的每2组对棱的中点构成平行四边形，则这四点共面，共有3种；
第三类：四面体的一条棱上三点共线，这三点与对棱中点共面，共有6种。故4点不共面的取法有
-(4 +6+3)=141种。
例16 从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中取出3个数，使和为不小于10的偶数，不同的取法有多少种。
解：从这10个数中取出3个不同的偶数的取法有 种；取1个偶数和2个奇数的取法有 种。另外，从这10个数中取出3个数，使其和为小于10的偶数，有9种不同取法。
因此，符合题设条件的不同取法有 + -9=51种。
五、解相邻问题——采用“捆绑”策略
对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来看作一个元素与其他元素排列，然后再在相邻元素之间排列。
事实上，这种方法就是将相邻的某几个元素，优先考虑。让这些特殊元素合成一个元素，与普通元素排列后，再松绑。
例17 A，B，C，D，E五人并排站成一排，如A，B必相邻，且B在A右边，那么不同排法有 （ ）
A．24种 B．60种 C．90种 D．120种
分析：将特殊元素A，B按B在A的右边“捆绑”看成一个大元素，与另外三个元素全排列 ，由A，B不能交换，故不再“松绑”，选A。
例18 5人成一排，要求甲、乙相邻，有几种排法?
解：将甲、乙“捆绑”成一个元素，加上其他3元素，共4元素，全排列有 种，甲、乙内部的排列有 种。故共有 =48种。
也可以这样理解：先让甲、丙、丁、戊，排成一列有 种，再将乙插入甲的左边或右边，有 种，共 =48种。
例19 计划展出10幅不同的画，其中一幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有多少种? ( )
A、 B、 C、 D、
分析：先把3种品种的画各看成整体，而水彩画不能放在头尾，故只能放在中间，又油画与国画有 种放法，再考虑油画与国画本身又可以全排列，故排列的方法为 ，故选D。
例20 5名学生和3名老师站成一排照相，3名老师必须站在一起的不同排法共有________种。
简析：将3名老师捆绑起来看作一个元素，与5名学生排列，有 种排法；而3名老师之间又有 种排法，故满足条件的排法共有 =4320种。
用“捆绑”法解题比较简单，实质是通过“捆绑”减少了元素，它与下面要提到的“插孔”法结合起来，威力便更大了。
六、解不相邻问题——采用“插孔”策略
对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排列好，然后再将不相邻的元素在这些排好的元素之间及两端的空隙中插入。
例21 7人站成一行，如果甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数是 ( )
A．1440种 B．3600种 C．4320种 D．4800种
简析：先让甲、乙之外的5人排成一行，有 种排法，再让甲、乙两人在每两人之间及两端的六个间隙中插入，有 种方法。故共有 · =3600种排法，选B。
例22 要排一个有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈不相邻，问有多少种不同排法?
分析：先将6个歌唱节目排成一排有 种排法，6个歌唱节目排好后包括两端共有7个“间隔”可以插入4个舞蹈节目有 种，故共 ·6！=604800种不同排法。
例23 从1，2，3，…，2000这2000个自然数中，取出10个互不相邻的自然数，有多少种方法?
解：将问题转化成把10名女学生不相邻地插入站成一列横列的1990名男生之间(包括首尾两侧)，有多少种方法?
因为任意相邻2名男学生之间最多站1名女学生，队伍中的男学生首尾两侧最多也可各站1名女学生。于是，这就是1991个位置中任选10个位置的组合问题，故共有 种方法。
利用“插孔”法，也可以减少元素，从而简化问题。
例24 一排6张椅子上坐3人，每2人之间至少有一张空椅子，求共有多少种不同的坐法?
解：将问题转化成把3个人坐5张椅子，然后插一把空椅子问题。
3个人若坐5张椅子，每2人之间一张空椅子。坐法是固定的有 种不同的坐法，然后，将余下的那张椅子插入3个坐位的4个空隙，有4种插法。所以共有4 =24种不同的坐法。
七、解定序问题——采用除法策略
对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总排列数除以这几个元素的全排列数，这其实就是局部有序问题，利用除法来“消序”。
例25 由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数小于十位数字的共有（ ）
A．210个 B．300个 C. 464个 D．600个
简析：若不考虑附加条件，组成的六位数共有 个，而其中个位数字与十位数字的 种排法中只有一种符合条件，故符合条件的六位数共 =300个，故选B。
例26 信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗、2面白旗，把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是 ________(用数字作答)。
分析：5面旗全排列有 种挂法，由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能作一次的挂法，故共有不同的信号种数是 =10(种)。
说明：此题也可以用组合来解，只需5个位置中确定3个，即 =10。
例27 有4个男生，3个女生，高矮互不相等，现将他们排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法?
分析：先在7个位置上任取4个位置排男生，有 种排法，剩余的3个位置排女生，因要求“从矮到高”，只有一种排法，故共有 =840种。
在处理分堆问题时，有时几堆中元素个数相等，这时也要用除法，
例28 不同的钢笔12支，分3堆，一堆6支，另外两堆各3支，有多少种分法?
解：若3堆有序号，则有 · ，但考虑有两堆都是3支，无须区别，故共有 / =9240种。
例29 把12支不同的钢笔分给3人，一人得6支，二人各得3，有几种分法?
解：先分堆：有 / 种。再将这三堆分配给三人，有 种。共有 · / =3 种。
本题亦可用“选位，选项法”，即： =3 。
八、解分排问题—采用直排处理的策略
把n个元素排成前后若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可采取统一排成一排的方法来处理。
例30 两排座位，第一排3个座位，第二排5个座位，若8位学生坐(每人一个座位)。则不同的坐法种数是（ ）
A、 B、 C、 D、
简析：因8名学生可在前后两排的8个座位中随意入坐，再无其他条件，所以两排座位可看作一排来处理，其不同的坐法种数是 ，故应选D。
九、解“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略
对于“小团体”排列问题，可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列，最后再进行“小团体”内部的排列。
例31 三名男歌唱家和两名女歌唱家联合举行一场音乐会，演出的出场顺序要求两名女歌唱家之间恰有一名男歌唱家，其出场方案共有 ( )
A．36种 B．18种 C．12种 D．6种
简析：按要求出场顺序必须有一个小团体“女男女”，因此先在三名男歌唱家中选一名(有 种选法)与两名女歌唱家组成一个团体，将这个小团体视为一个元素，与其余2名男歌唱家排列有 种排法。最后小团体内2名女歌唱家排列有 种排法，所以共有 =36种出场方案，选A。
十、简化计算繁琐类问题——采用递归策略
所谓递归策略，就是先建立所求题目结果的一个递推关系式，再经简化题目条件得出初始值，进而递推得到所求答案。
例32 有五位老师在同一年级的6个班级中，分教一个班的数学，在数学会考中，要求每位老师均不在本班监考，共有安排监考的方法总数
参考资料：
关键词： 排列组合,解题策略
一、相临问题——捆绑法
例1．7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？
解：两个元素排在一起的问题可用“捆绑”法解决，先将甲乙二人看作一个元素与其他五人进行排列，并考虑甲乙二人的顺序，所以共有 种。
评注：一般地: 个人站成一排,其中某 个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有 种排法。
二、不相临问题——选空插入法
例2． 7名学生站成一排，甲乙互不相邻有多少不同排法？
解：甲、乙二人不相邻的排法一般应用“插空”法，所以甲、乙二人不相邻的排法总数应为： 种 .
评注：若 个人站成一排，其中 个人不相邻，可用“插空”法解决，共有 种排法。
三、复杂问题——总体排除法
在直接法考虑比较难，或分类不清或多种时，可考虑用“排除法”，解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。
例3.(1996年全国高考题)正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个.
解：从7个点中取3个点的取法有 种，但其中正六边形的对角线所含的中心和顶点三点共线不能组成三角形，有3条，所以满足条件的三角形共有 －3＝32个.
四、特殊元素——优先考虑法
对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。
例4． (1995年上海高考题) 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法 种．
解：先考虑特殊元素（老师）的排法，因老师不排在两端，故可在中间三个位置上任选一个位置，有 种，而其余学生的排法有 种，所以共有 ＝72种不同的排法.
例5．（2000年全国高考题）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有 种.
解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力队员，有 种排法，而其余7名队员选出2名安排在第二、四位置，有 种排法，所以不同的出场安排共有 ＝252种.
五、多元问题——分类讨论法
对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。
例6．（2003年北京春招）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（A ）
A．42 B．30 C．20 D．12
解：增加的两个新节目，可分为相临与不相临两种情况：1.不相临：共有A62种；2.相临：共有A22A61种。故不同插法的种数为：A62 +A22A61=42 ，故选A。
例7．（2003年全国高考试题）如图， 一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？（以数字作答）
解：区域1与其他四个区域相邻，而其他每个区域都与三个区域相邻，因此，可以涂三种或四种颜色． 用三种颜色着色有 =24种方法, 用四种颜色着色有 =48种方法,从而共有24+48=72种方法,应填72.
六、混合问题——先选后排法
对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略．
例8．（2002年北京高考）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（ ）
A． 种 B． 种
C． 种 D． 种
解：本试题属于均分组问题。 则12名同学均分成3组共有 种方法,分配到三个不同的路口的不同的分配方案共有： 种，故选A。
例9．（2003年北京高考试题）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（ ）
A．24种 B．18种 C．12种 D．6种
解:先选后排,分步实施. 由题意，不同的选法有: C32种,不同的排法有: A31·A22,故不同的种植方法共有A31·C32·A22=12，故应选C.
七．相同元素分配——档板分隔法
例10．把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。请用尽可能多的方法求解，并思考这些方法是否适合更一般的情况？
本题考查组合问题。
解：先让2、3号阅览室依次分得1本书、2本书；再对余下的7本书进行分配，保证每个阅览室至少得一本书，这相当于在7本相同书之间的6个“空档”内插入两个相同“I”（一般可视为“隔板”）共有 种插法，即有15种分法。
总之，排列、组合应用题的解题思路可总结为：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类为加，分步为乘。
具体说，解排列组合的应用题，通常有以下途径：
（1）以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素。
（2）以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置。
（3）先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列组合数。
排列组合问题的解题方略
湖北省安陆市第二高级中学 张征洪
排列组合知识，广泛应用于实际，掌握好排列组合知识，能帮助我们在生产生活中，解决许多实际应用问题。同时排列组合问题历来就是一个老大难的问题。因此有必要对排列组合问题的解题规律和解题方法作一点归纳和总结，以期充分掌握排列组合知识。
首先，谈谈排列组合综合问题的一般解题规律:
1）使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”要根据我们完成某件事时采取的方式而定，可以分类来完成这件事时用“分类计数原理”，需要分步来完成这件事时就用“分步计数原理”；那么，怎样确定是分类，还是分步骤？“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给的事件，而“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给事件，所以准确理解两个原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，相互独立，彼此间交集为空集，并集为全集，不论哪类办法都能将事情单独完成，分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，步与步之间互不影响，即前步用什么方法不影响后面的步骤采用的方法。
2）排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关。
3）复杂的排列问题常常通过试验、画 “树图 ”、“框图”等手段使问题直观化，从而寻求解题途径，由于结果的正确性难于检验，因此常常需要用不同的方法求解来获得检验。
4）按元素的性质进行分类，按事件发生的连续性进行分步是处理排列组合问题的基本思想方法，要注意“至少、至多”等限制词的意义。
5）处理排列、组合综合问题，一般思想是先选元素（组合），后排列，按元素的性质进行“分类”和按事件的过程“分步”，始终是处理排列、组合问题的基本原理和方法，通过解题训练要注意积累和掌握分类和分步的基本技能，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。
6）在解决排列组合综合问题时，必须深刻理解排列组合的概念，能熟练地对问题进行分类，牢记排列数与组合数公式与组合数性质，容易产生的错误是重复和遗漏计数。
总之，解决排列组合问题的基本规律，即：分类相加，分步相乘，排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；正难则反，间接排除等。
其次，我们在抓住问题的本质特征和规律，灵活运用基本原理和公式进行分析解答的同时，还要注意讲究一些解题策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。下面介绍几种常用的解题方法和策略。
一．特殊元素（位置）的“优先安排法”：对于特殊元素（位置）的排列组合问题，一般先考虑特殊，再考虑其他。
例1、 用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）。
A． 24个 B.30个 C.40个 D.60个
[分析]由于该三位数为偶数，故末尾数字必为偶数，又因为0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，应该优先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分两类：1）0排末尾时，有A42个，2）0不排在末尾时，则有C21 A31A31个，由分数计数原理，共有偶数A42 + C21 A31A31=30个，选B。
二．总体淘汰法：对于含否定的问题，还可以从总体中把不合要求的除去。如例1中，也可用此法解答:五个数字组成三位数的全排列有A53个，排好后发现0不能排首位，而且数字3，5也不能排末位，这两种排法要排除，故有A53--3A42+ C21A31=30个偶数。
三．合理分类与准确分步含有约束条件的排列组合问题，按元素的性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。
四．相邻问题用捆绑法：在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再考虑大元素内部各元素间顺序的解题策略就是捆绑法．
例2、有8本不同的书；其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本．若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有( )种．(结果用数值表示)
解：把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书，2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书，与其它3本书一起看作5个元素，共有A55种排法；又3本数学书有A33种排法，2本外语书有A22种排法；根据分步计数原理共有排法A55 A33 A22=1440(种).
注：运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题．
五．不相邻问题用“插空法”：不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它们隔开．解决此类问题可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两端位置，故称插空法．
例3、用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，2与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻。这样的八位数共有( )个．(用数字作答)
解：由于要求1与2相邻，2与4相邻，可将1、2、4这三个数字捆绑在一起形成一个大元素，这个大元素的内部中间只能排2，两边排1和4，因此大元素内部共有A22种排法，再把5与6也捆绑成一个大元素，其内部也有A22种排法，与数字3共计三个元素，先将这三个元素排好，共有A33种排法，再从前面排好的三个元素形成的间隙及两端共四个位置中任选两个，把要求不相邻的数字7和8插入即可，共有A42种插法，所以符合条件的八位数共有A22 A22 A33 A42＝288(种)．
注：运用“插空法”解决不相邻问题时，要注意欲插入的位置是否包含两端位置．
六．顺序固定用“除法”：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。
例4、6个人排队，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”顺序排的排队方法有多少种？
分析：不考虑附加条件，排队方法有A66种，而其中甲、乙、丙的A33种排法中只有一种符合条件。故符合条件的排法有A66 ÷A33 =120种。(或A63种)
例5、4个男生和3个女生，高矮不相等，现在将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，有多少种排法。
解：先在7个位置中任取4个给男生，有A74 种排法，余下的3个位置给女生，只有一种排法，故有A74 种排法。(也可以是A77 ÷A33种)
七．分排问题用“直排法”：把几个元素排成若干排的问题，可采用统一排成一排的排法来处理。
例6、7个人坐两排座位，第一排3个人，第二排坐4个人，则不同的坐法有多少种？
分析：7个人可以在前两排随意就坐，再无其它条件,故两排可看作一排来处理，不同的坐法共有A77种。
八．逐个试验法：题中附加条件增多，直接解决困难时，用试验逐步寻找规律。
例7.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的方格中，每方格填1个，方格标号与所填数字均不相同的填法种数有（ ）
A．6 B.9 C.11 D.23
解：第一方格内可填2或3或4，如第一填2，则第二方格可填1或3或4，若第二方格内填1，则后两方格只有一种方法；若第二方格填3或4，后两方格也只有一种填法。一共有9种填法，故选B
九、构造模型 “隔板法”
对于较复杂的排列问题，可通过设计另一情景，构造一个隔板模型来解决问题。
例8、方程a+b+c+d=12有多少组正整数解？
分析：建立隔板模型：将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个间隙中任意插入3块隔板，把球分成4堆，每一种分法所得4堆球的各堆球的数目，对应为a、b、c、d的一组正整解，故原方程的正整数解的组数共有C113 .
又如方程a+b+c+d=12非负整数解的个数,可用此法解。
十.正难则反——排除法
对于含“至多”或“至少”的排列组合问题，若直接解答多需进行复杂讨论，可以考虑“总体去杂”，即将总体中不符合条件的排列或组合删除掉，从而计算出符合条件的排列组合数的方法．
例9、从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有( )种．
A．140种 B．80种 C．70种 D．35种
解：在被取出的3台中，不含甲型或不合乙型的抽取方法均不合题意，因此符合题意的抽取方法有C93-C43-C53=70(种)，故选C．
注：这种方法适用于反面的情况明确且易于计算的习题．
十一．逐步探索法：对于情况复杂，不易发现其规律的问题需要认真分析，探索出其规律
例10、从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，则不同的取法种数有多少种。
解：两个数相加中以较小的数为被加数，1+100>100，1为被加数时有1种，2为被加数有2种，…，49为被加数的有49种，50为被加数的有50种，但51为被加数有49种，52为被加数有48种，…，99为被捕加数的只有1种，故不同的取法有（1+2+3+…+50）+（49+48+…+1）=2500种
十二．一一对应法：
例11.在100名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场失败要退出比赛）最后产生一名冠军，要比赛几场？
解：要产生一名冠军，要淘汰冠军以外的所有选手，即要淘汰99名选手，要淘汰一名就要进行一场，故比赛99场。
应该指出的是，以上介绍的各种方法是解决一般排列组合问题常用方法，并非绝对的。数学是一门非常灵活的课程，同一问题有时会有多种解法，这时，要认真思考和分析，灵活选择最佳方法．还有像多元问题“分类法”、环排问题“线排法”、“等概率法”等在此不赘述了。
